Legendrov simbol

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Legendrov simbol [ležándrov simból] je v teoriji števil simbol, ki se uporablja pri faktorizaciji in kvadratnih ostankih. Simbol je uvedel Adrien-Marie Legendre.

[uredi] Definicija

Legendrov simbol je poseben primer Jacobijevega simbola. Odvisen je od tega ali za dve celi števili p in a velja:

$a \equiv 0 \pmod{p}$ (oziroma p deli a), ali
$a \equiv x^2 \pmod{p}$ (oziroma a je kvadrat mod p) ali
$a \not\equiv x^2 \pmod{p}$ (oziroma a ni kvadrat mod p).

Če je p liho praštevilo in a celo število je Legendrov simbol:

$\left( {a\over p}\right) = \left\{\begin{matrix} 0; & p \vert a \\ 1; & \mathrm{za \ tak \ } k \ \mathrm{da \ velja \ } k^{2} \equiv a\ (\mathrm{mod \ } p) \\ -1; & \mathrm{sicer} \end{matrix}\right. \; .$

Simbol se označuje tudi kot:

$(a/p) \ \mathrm{ali \ } L(a,p)$

[uredi] Lastnosti Legendrovega simbola

Legendrov simbol ima več uporabnih lastnosti, ki pospešijo računanje:

$\left(\frac{ab}{p}\right) = \left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)$ (je popolnoma multiplikativna funkcija za zgornji argument)
Če je a ≡ b (mod p), potem velja $\left(\frac{a}{p}\right) = \left(\frac{b}{p}\right)$
$\left(\frac{1}{p}\right) = 1$
$\left(\frac{-1}{p}\right) = (-1)^{(p-1)/2}$ , oziroma = 1, če je p ≡ 1 (mod 4) in = −1, če je p ≡ 3 (mod 4)
$\left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^{(p^2-1)/8}$ , oziroma = 1, če je p ≡ 1 ali 7 (mod 8) in = −1, če je p ≡ 3 ali 5 (mod 8)
Za liho praštevilo q velja $\left(\frac{q}{p}\right) = \left(\frac{p}{q}\right)(-1)^{ ((p-1)/2) ((q-1)/2) }$

Zadnja lastnost je znana kot kvadratični reciprocitetni zakon. Lastnosti 4 in 5 sta tradicionalno znani kot dodatka k kvadratni recipročnosti. Dokazati ju je moč z Gaussovo lemo.

Legendrov simbol je povezan z Eulerjevim kriterijem. Euler je dokazal, da

$\left(\frac{a}{p}\right) \equiv a^{(p-1)/2}\pmod p$

Legendrov simbol je tudi Dirichletov karakter.

[uredi] Sorodne funkcije

Jacobijev simbol je posplošitev Legendrovega simbola, ki dovoljuje sestavljena spodnja števila. S posplošitvijo je moč uspešno računati Legendrove simbole.

Druga posplošitev je Kroneckerjev simbol.

Vzpostavljeno iz »http://sl.wikipedia.org../../../l/e/g/Legendrov_simbol.html«

Kategoriji: Teorija števil | Adrien-Marie Legendre