Циклический подкласс

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Цикли́ческие подкла́ссы - подмножества неразложимого периодического класса цепи Маркова такие, что цепь проходит их один за другим по порядку.

Содержание

1 Теорема
2 Замечание
3 Определение
4 Цепь внутри циклического подкласса

[править] Теорема

Пусть дана цепь Маркова $\{X_n\}_{n \ge 0}$ с дискретным временем, дискретным пространством состояний $S$ и матрицей переходных вероятностей $P$ . Пусть $C \subset S$ - неразложимый класс состояний с периодом $d$ . Тогда существует разбиение множества $C$ : $C_0,\ldots, C_{d-1} \subset C$ , то есть

$C_k \cap C_l = \emptyset,\; k \not= l, \quad \bigcup\limits_{k=0}^{d-1} C_k = C$

такое, что

$\mathbb{P}(X_{n+1} \in C_{k+1 \!\!\!\!\!\mod d} \mid X_n \in C_{k}) = 1, \quad k = 0,\ldots, d-1, \; n \in \mathbb{N}$ .

[править] Замечание

Таким образом внутри любого неразложимого периодического класса цепь Маркова описывает путь:

$C_k \to C_{k+1} \to \cdots \to C_{d-1} \to C_0 \to \cdots \to C_{k-1} \to C_k \to \cdots$ ,

где $k$ - индекс начального подмножества.

[править] Определение

Построенные таким образом подмножества $C_k,\; k=1,\ldots, d-1$ называются цикли́ческими подкла́ссами.

[править] Цепь внутри циклического подкласса

Очевидно имеем:

$\mathbb{P}(X_{n+d} \in C_{k} \mid X_n \in C_{k}) = 1, \quad k = 0,\ldots, d-1, \; n \in \mathbb{N}$ ,

то есть через каждые $d$ шагов цепь возвращается в тот же циклический подкласс. Тогда для любого фиксированного $k = 0,\ldots,d-1$ можно построить новую цепь Маркова $\left\{X_n^{(k)}\right\}_{n \ge 0}$ со множеством состояний $C k$ и матрицей переходных вероятностей $P d$ . Эта цепь будет неразложимой и апериодичной. Таким образом изучение многих вопросов поведения цепи Маркова сводится к случаю апериодической неразложимой цепи.