Периодическое состояние

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Периоди́ческое состоя́ние - это такое состояние цепи Маркова, которое навещается цепью только через промежутки времени, кратные фиксированному числу.

[править] Период состояния

Пусть дана однородная цепь Маркова с дискретным временем $\{X_n\}_{n \ge 0}$ с матрицей переходных вероятностей $P$ . В частности, для любого $n \in \mathbb{N}$ , матрица $P^n = \left(p_{ij}^{(n)} \right)$ является матрицей переходных вероятностей за $n$ шагов. Рассмотрим последовательность $n \to p^{(n)}_{jj},\, n \in \mathbb{N}$ . Число

$d(j) = \gcd \left(n \in \mathbb{N} \mid p_{jj}^{(n)} > 0 \right)$ ,

где $gcd$ обозначает наибольший общий делитель, называется пери́одом состояния $j$ .

[править] Замечание

Таким образом, период состояния $j$ равен $d (j)$ , если из того что $p_{jj}^{(n)}>0$ следует, что $n$ делится на $d (j)$ .

[править] Периодические состояния и цепи

Если $d (j) > 1$ , то состояние $j$ называется периоди́ческим. Если $d (j) = 1$ , то состояние $j$ называется апериоди́ческим.

Периоды сообщающихся состояний совпадают:

$( i \leftrightarrow j ) \Rightarrow ( d(i) = d(j) )$ .

Таким образом период любого неразложимого класса цепи Маркова определён и равен периоду любого своего представителя. Соответственно, классы делятся на периодические и апериодические.

Если цепь Маркова неразложима, то периоды всех её состояний совпадают и принимаемое ими общее значение называется периодом цепи. Цепь называется периодической, если её период больше единицы, и апериодической в обратном случае.

Классификация состояний и цепей Маркова
Состояние: апериодическое \| возвратное \| достижимое \| невозвратное \| несущественное \| нулевое \| периодическое \| положительное \| сообщающееся \| существенное
Цепь: апериодическая \| возвратная \| невозвратная \| неразложимая \| нулевая \| периодическая \| положительная \| разложимая \| эргодическая

Категория: Марковские процессы

Периодическое состояние

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

[править] Период состояния

[править] Замечание

[править] Периодические состояния и цепи

Views

Навигация

Участие

Поиск