Таблица интегралов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Интегрирование — это одна из двух основных операций в математическом анализе, но, в отличие от дифференцирования, является нетривиальной процедурой. Таблицы известных первообразных оказываются часто очень полезны, хотя сейчас и теряют свою актуальность с появлением систем компьютерной алгебры. На этой странице представлен список наиболее часто встречающихся первообразных. Более полный список можно найти в статье список интегралов.

C использована как произвольная константа интегрирования, которую можно определить если известно значение интеграла в какой-нибудь точке. У каждой функции имеется бесконечное число первообразных.

[править] Правила интегрирования функций

$\int cf(x)\,dx = c\int f(x)\,dx$

$\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx$

$\int f(x)g'(x)\,dx = f(x)g(x) - \int g(x)f'(x)\,dx$

$\int f(u)\,du = \int f(g(x))g'(x)\,dx,\qquad u=g(x)$

[править] Интегралы простых функций

[править] Рациональные функции

см.: Список интегралов от рациональных функций

$\int \,dx = x + C$

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,$ если $n \ne -1$

$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln{\left|x\right|} + C$

$\int {du \over {a^2+u^2}} = {1 \over a}\arctan {u \over a} + C$

[править] Логарифмы

см.: Список интегралов от логарифмических функций

$\int \ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C$

$\int \log_b {x}\,dx = x\log_b {x} - x\log_b {e} + C$

[править] Экспоненциальные функции

см.: Список интегралов от экспоненциальных функций

$\int e^x\,dx = e^x + C$

$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C$

[править] Иррациональные функции

см.: Список интегралов от иррациональных функций

$\int {du \over \sqrt{a^2-u^2}} = \arcsin {u \over a} + C$

$\int {-du \over \sqrt{a^2-u^2}} = \arccos {u \over a} + C$

$\int {du \over u\sqrt{u^2-a^2}} = {1 \over a}\mbox{arcsec}\,{|u| \over a} + C$

[править] Тригонометрические функции

см.: список интегралов от тригонометрических функций с список интегралов от обратных тригонометрических функций

$\int \sin{x}\, dx = -\cos{x} + C$

$\int \cos{x}\, dx = \sin{x} + C$

$\int \tan{x} \, dx = -\ln{\left| \cos {x} \right|} + C$

$\int \cot{x} \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C$

$\int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C$

$\int \csc{x} \, dx = -\ln{\left| \csc{x} + \cot{x}\right|} + C$

$\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$

$\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C$

$\int \sec{x} \, \tan{x} \, dx = \sec{x} + C$

$\int \csc{x} \, \cot{x} \, dx = - \csc{x} + C$

$\int \sin^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x - \sin x \cos x) + C$

$\int \cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x + \sin x \cos x) + C$

$\int \sin^n x \, dx = - \frac{\sin^{n-1} {x} \cos {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2}{x} \, dx$

$\int \cos^n x \, dx = - \frac{\cos^{n-1} {x} \sin {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2}{x} \, dx$

$\int \arctan{x} \, dx = x \, \arctan{x} - \ln \sqrt{1 + x^2} + C$

[править] Гиперболические функции

см.: список интегралов от гиперболических функций

$\int \sinh x \, dx = \cosh x + C$

$\int \cosh x \, dx = \sinh x + C$

$\int \tanh x \, dx = \ln |\cosh x| + C$

$\int \mbox{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C$

$\int \mbox{sech}\,x \, dx = \arctan(\sinh x) + C$

$\int \coth x \, dx = \ln|\sinh x| + C$

[править] Определённые интегралы

Существуют функции первообразные которых не выражаются в элементарных функциях, но значения определённых интегралов могут быть посчитаны. Несколько полезных определённых интегралов приводятся ниже.

$\int_0^\infty{\sqrt{x}\,e^{-x}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi$