Замыкание (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Замыка́нием множества относительно некоторой операции называется результат расширения множества минимальным набором элементов такой, что эта операция не выводит за пределы расширенного множества.

Содержание

1 Геометрия-Анализ
2 Алгебра
- 2.1 Замыкание относительно алгебраических операций
- 2.2 Алгебраическое замыкание поля

[править] Геометрия-Анализ

В топологии замыкание подмножества $M$ топологического пространства обычно определяется как пересечение всех замкнутых подмножеств содержащих $M$ . Замыкание $M$ обычно обозначается $\overline{M}$ или $c l (M)$ .

В анализе обычно употребляется другое, эквивалентное определение:

Замыкание относительно операции взятия предельной точки. Точка топологического пространства (и в частности метрического пространства) $x$ называется предельной точкой множества $M$ , если любая её выколотая окрестность содержит хотя бы одну точку из $M$ . Множество всех предельных точек множества $M$ обозначается $M'$ . Замыканием множества $M$ называется множество $\overline{M}=M\cup M'$ . Множество $M$ называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки, т. е. $M\supset M'$ . Очевидно, множество $\overline{M}$ является минимальным замкнутым множеством, содержащим $M$ .

Точка $x$ называется точкой прикосновения подмножества $M$ , если любая её окрестность содержит хотя бы одну точку из $M$ . Нетрудно видеть, что множество всех точек прикосновения совпадает с $\overline{M}$ .

Свойства замыкания:

$\overline{M'} = M'$ ;
$M \subset \overline{ M}$ ;
$\overline{\overline{M}} = \overline{M}$ ;
Если $M_1 \subset M_2$ , то $\overline{ M}_1 \subset \overline{ M}_2$ ;
$\overline{M_1 \cup M_2} = \overline{M}_1 \cup \overline{M}_2$ .

[править] Алгебра

[править] Замыкание относительно алгебраических операций

Пусть $M$ — подмножество некоторой алгебраической структуры $K$ (например, группы или кольца). Замыканием множества $M$ относительно алгебраических операций в $K$ называется минимальная подструктура (соответственно, подгруппа или подкольцо) $K$ , содержащая $M$ .

См. также свободно порожденная группа

[править] Алгебраическое замыкание поля

Замыкание относительно операции взятие алгебраических чисел над полем. Поле называется алгебраически замкнутым, если оно содержит все свои алгебраические числа (решения алгебраических уравнений с коэффициентами из поля). Примером алгебраически замкнутого поля является поле комплексных чисел $\mathbb{C}$ (см. основная теорема алгебры).