Дельта-функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

$δ$ -функция — есть сингулярная обобщённая функция. Введена английским физиком Дираком. Позволяет записать пространственную плотность физической величины (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенной или приложенной в одной точке. Например, плотность точечной массы 1, находящейся в точке a, евклидова пространства $\mathbb R^n$ , записывается с помощью $δ$ -функции в виде $δ(x - a)$ .

$δ$ -функция не является функцией в классическом смысле. Она определяется как обобщенная функция, т. е. как непрерывный линейный функционал на пространстве дифференцируемых функций.

Содержание

1 Определение
2 Свойства
3 Интегральное представление
4 Производная дельта функции
5 Преобразование Фурье
6 Представление в различных координатах и системах отчета
7 Физическая интерпретация
8 Ссылки

[править] Определение

$δ$ -функция определяется формальным соотношением

$\int_{\mathbb R^n}\delta(x-a)f(x)dx = f(a)$

для любой непрерывной функции $f(x)\,$ .

[править] Свойства

Для дельта-функции одной переменной верны следующие равенства:

$\delta(x) = 0, \forall x \not= 0$
$\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)\, dx = 1$

[править] Интегральное представление

Во многих физических приложениях оказывается удобным интегральное представление дельта-функции:

График функции sin(x)/x

Рассмотрим интеграл

$I(t) = \int_{-\infty}^\infty e^{i\omega t}\, d\omega$ $(1)\,$ ,

который можно интерпретировать как предел

$I(t) = \lim_{N = \infty} \int_{-N}^N e^{i\omega t}\, d\omega = 2 \pi N \frac{\sin{tN}}{\pi tN}$ $(2)\,$

Известно что $\int_{-\infty}^ \infty \frac{\sin{t}}{t} = \pi$ $(3)\,$ ,

в силу $(3)\,$ для любого $N\,$ справедливо равенство:

$\int_{-\infty}^{\infty} 2N \frac{\sin{tN}}{tN}\, dt = 2 \pi$ $(4)\,$

можно показать, что при неограниченном росте $N\,$ оказываются верными все свойства дельта-функции и функция $(2)\,$ в некотором смысле стремится к $\delta(t)\,$ ; это позволяет заключить, что:

$I(t) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{i\omega t}\, d\omega = 2\pi \delta(t)$

[править] Производная дельта функции

Фундаментальное выражение описывающие производную дельта функции $δ(x)$

$\int f(x)\delta^{[n]}(x)\, dx = - \int \frac{\partial f}{\partial x} \delta^{[n-1]}(x)\, dx$

Сделав подстановку $f(x)=xg(x)\,\!$ получем выражение вида:

$\int xg(x)\delta^{'}(x)\, dx = - \int \delta(x) \frac{\partial }{\partial x} [xg(x)]\, dx$

Преобразовав выражение, получим следующие:

$- \int \delta(x) [g(x)+xg^{'}(x)]\, dx = - \int g(x) \delta(x)\, dx$

В силу того, что $\int xg^{'}(x) \delta(x)\, dx=0$ переходим к окончательному выражению

$x \delta^{'}(x)=-\delta(x)\,\!$

В общем виде выражение производной дельта функции записывается так:

$\int [x^{n}f(x)] \delta^{n}(x) \, dx = (-1)^{n}\int \frac{\partial^{n}[x^{n}f(x)]}{\partial x^{n}} \delta(x) \, dx$

Для производной дельта функции так же верны несколько тождеств

$\delta^{'}(-x)=-\delta^{'}(x)\,\!$

$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta^{'}(x-a)\, dx = -f^{'}(a)$

$\int_{-1}^{1} \delta\left( \frac{1}{x} \right)\, dx = 0$

[править] Преобразование Фурье

К дельта функции можно применить преобразование Фурье.

$\int_{-\infty}^\infty 1 \cdot e^{-i 2\pi f t}\,dt = \delta(f)$

в результате получаем спектр вида

$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,$

Доказано, что производная функции Хевисайда равна дельта-функции. Т.е функция Хевисайда первообразная дельта функции.

$\left( H \right)=\int_{-\infty}^{x} \delta(t)\, dt$

Следовательно, применив преобразование Фурье к первообразной дельта-функции

$\sqrt{2\pi}H(t)$ получим её изображение вида $\frac{1}{\iota\omega} + {\pi} \delta(t)$

[править] Представление в различных координатах и системах отчета

В двумерном пространстве

$\iint_{-\infty}^{\infty} \delta^{2}(x,y) \, dx\,dy = 1$

$\delta(ax,by)=\frac{1}{\left| ab \right|}\delta^{2}(x,y)$

$\delta^{2}(x,y)=\delta(x)\delta(y)\,\!$

В полярных координатах соответственно:

$\delta^{2}(x,y)= \frac{\delta(r)}{\pi \left| r \right|}$

В трехмерном пространстве

$\iiint_{-\infty}^{\infty} \delta^{3}(x,y,z) \, dx\,dy\,dz = 1$

$\delta^{3}(x,y,z)=\delta(x)\delta(y)\delta(z)\,\!$

В цилиндрической системе

$\delta^{3}(r,\theta,z) = \frac{\delta(r)\delta(z)}{\pi r}$

В сферической системе отчета

$\delta^{3}(r,\theta,\phi)=\frac{\delta(r)}{2 \pi r^2}\,\!$

[править] Физическая интерпретация

Вблизи заряжённой точки, поле бесконечно, ряды Тейлора для поля не сходятся, поэтому вводят специальные функции. Одной из таких функций является дельта функция. Данный пример с полем заряженной частицы довольно трудно наглядно представить. Рассмотрим боле простой пример. При ударе двух тел оба тела получают ускорение и приобретают какую-то скорость. Зададимся вопросом, как рассчитать ускорение, приобретенное телом? Построим график зависимости изменения скорости от времени. График будет следующего вида

Данный график является не чем иным, как функцией Хевисайда, а как мы показывали раньше, производная функции Хевисайда является единичная дельта функция. Построим график единичной функции Дирака.

Данный график отображает бесконечное ускорение при мгновенном наборе скорости. Дале приняв то, что данную модель мы рассматриваем в евклидовом пространстве, можно записать следующее уравнение: $a (t) = νδ(t - t a)$

Рассмотрим другие примеры. Дельта-функция применяется в математической физике при решении задач, в которые входят сосредоточенные величины. В квазиклассическом пределе $h \rightarrow 0$ волновые функции локализуются в дельта функции, а центры их сосредоточения движутся по классическим траекториям согласно уравнениям Ньютона. Через дельта функцию, так же записывается функция Грина линейного оператора L, действующего на обобщённые функции над многообразием M в точке x0. Уравнение имеет вид (Lf)(x) = δ(x − x0). В приведенной выше формуле, оператор L это оператор Лапласиан.

Важно отметить следующую формулу

$\nabla^2 \left( \frac{1}{r} \right) = - 4\pi\delta$

Оператор Лапласиан (набла в квадрате) от $\frac{1}{r}$ (функция Грина, кривизна) равен $4π$ дальта функции. Данное выражение исходит из того, что $\nabla^2 \left( \frac{1}{r} \right)$ ведет себя подобно дельта функции. Данное утверждение используют для доказательства того, что выражение для скалярного потенциала: