Гамма распределение

**Гамма распределение**
Плотность вероятности
Функция распределения
Параметры	$k > 0,\,\theta > 0\,$ - коэффициент масштаба
Носитель	$x \in [0; \infty)\!$
Плотность вероятности	$x^{k-1} \frac{\exp\left(-x/\theta\right)}{\Gamma(k)\,\theta^k}$
Функция распределения	$\frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}$
Математическое ожидание	$k \theta\,$
Медиана
Мода	$(k-1) \theta\,$ , когда $k \geq 1\,$
Дисперсия	$k \theta^2\,$
Коэффициент асимметрии	$\frac{2}{\sqrt{k}}$
Коэффициент эксцесса	$\frac{6}{k}$
Информационная энтропия	$k\theta+(1-k)\ln(\theta)+\ln(\Gamma(k))\,$ $+(1-k)\psi(k)\,$
Производящая функция моментов	$(1 - \theta\,t)^{-k}$ , когда $t < 1 / θ$
Характеристическая функция	$(1 - \theta\,i\,t)^{-k}$

Га́мма распреде́ление в теории вероятностей - это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Если параметр $k$ принимает целое значение, то такое гамма распределение также называется распределе́нием Эрла́нга.

Содержание

$f_X(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{k-1} \frac{e^{-x/\theta}}{\theta^k \, \Gamma(k)}, & x \ge 0 \\ 0, & x < 0 \end{matrix} \right.,$

где $k,θ > 0$ . Тогда говорят, что случайная величина $X$ имеет гамма распределение с параметрами $k$ и $θ$ . Пишут $X ˜Γ(k,θ)$ .

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины $X$ , имеющей гамма распределение, имеют вид

$\mathbb{E}[X] = k\theta$ ,

D[X] = k θ 2

Если $X_1,\ldots, X_n$ - независимые случайные величины, такие что $X_i \sim \Gamma(k_i, \theta),\; i = 1,\ldots, n$ , то

$Y = \sum\limits_{i=1}^n X_i \sim \Gamma\left( \sum_{i=1}^n k_i, \theta \right)$ .

a X ˜Γ(k, a θ)

$\Gamma(1,\theta) \equiv \mathrm{Exp}(\theta)$ .

Если $X_1,\ldots,X_k$ - независимые экспоненциальные случайные величины, такие что $X_i \sim \mathrm{Exp}(\theta),\; i = 1,\ldots, k$ , то

$Y = \sum\limits_{i=1}^k X_i \sim \Gamma(k, \theta )$ .

$\Gamma\left(\frac{n}{2},2\right) \equiv \chi^2(n)$ .

Согласно центральной предельной теореме, при больших $k$ гамма распределение может быть приближено нормальным распределением:

$\Gamma(k, \theta) \approx \mathrm{N}(k\theta, k\theta^2)$ при $k \to \infty$ .

Если $X 1, X 2$ - независимые случайные величины, такие что $X_i \sim \Gamma(k_i,1),\; i=1,2$ , то

$\frac{X_1}{X_1+X_2} \sim \mathrm{\Beta}(k_1,k_2)$ .

	Вероятностные распределения
	Одномерные	Многомерные
Дискретные:	Бернулли \| биномиальное \| геометрическое \| гипергеометрическое \| логарифмическое \| отрицательное биномиальное \| Пуассона \| равномерное	мультиномиальное
Абсолютно непрерывные:	Бета \| Вейбулла \| Гамма \| Колмогорова \| Коши \| логнормальное \| Лоренца \| нормальное \| равномерное \| Парето \| Стьюдента \| Фишера \| хи-квадрат \| экспоненциальное \| Эрланга	многомерное нормальное