Отрицательное биномиальное распределение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

**Отрицательное биномиальное распределение**
Функция вероятности
Функция распределения
Параметры	$r > 0\!$ $p \in (0;1)\!$ (real)
Носитель	$k \in \{0,1,2,\ldots\}\!$
Функция вероятности	$\frac{\Gamma(r+k)}{k!\,\Gamma(r)}\,p^r\,(1-p)^k \!$
Функция распределения	$I_p(r,k+1)\!$
Математическое ожидание	$r\,\frac{1-p}{p}\!$
Медиана
Мода	$\lfloor(r-1)\,(1-p)/p\rfloor\!$ если $r > 1$ $0$ если $r\leq1$
Дисперсия	$r\,\frac{1-p}{p^2}\!$
Коэффициент асимметрии	$\frac{2-p}{\sqrt{r\,(1-p)}}\!$
Коэффициент эксцесса	$\frac{6}{r} + \frac{p^2}{r\,(1-p)}\!$
Информационная энтропия
Производящая функция моментов	$\left(\frac{p}{1-(1-p) e^t}\right)^r \!$
Характеристическая функция	$\left(\frac{p}{1-(1-p) e^{i\,t}}\right)^r \!$

Отрицательное биномиальное распределение в теории вероятностей — это распределение дискретной случайной величины равной количеству произошедших неудач в последовательности испытаний Бернулли с вероятностью успеха $p$ , проводимой до $r$ -го успеха.

[править] Определение

Пусть $X_1 ,\ldots, X_n$ — конечная последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть

$X_i = \left\{ \begin{matrix} 1, & p \\ 0, & q \equiv 1-p \end{matrix} \right.,\; i=1,\ldots, n.$

Построим случайную величину $Y$ следующим образом. Пусть $k + r$ — номер $r$ -го успеха в этой последовательности. Тогда $Y = k$ . Более строго, положим $S_n = \sum\limits_{i=1}^n X_i$ . Тогда

$Y = \inf\{n \mid S_n = r\} - r$ .

Распределение случайной величины $Y$ , определённой таким образом, называется отрицательным биномиальным. Пишут: $Y ˜NB(r, p)$ .

[править] Функции вероятности и распределения

Функция вероятности случайной величины $Y$ имеет вид:

$\mathbb{P}(Y = k) = C_{k+r-1}^k\, p^r q^k,\; k=0,1,2,\ldots$ .

Функция распределения $Y$ кусочно-постоянна, и её значения в целых точках может быть выражено через неполную бета-функцию:

F Y (k) = I p (r, k + 1)

[править] Моменты

Производящая функция моментов отрицательного биномиального распределения имеет вид:

$M_Y(t) = \left(\frac{p}{1 - q e^t}\right)^r$ ,

откуда

$\mathbb{E}[Y] = r \frac{q}{p}$ ,

$\mathrm{D}[Y] = r \frac{q}{p^2}$ .

	Вероятностные распределения
	Одномерные	Многомерные
Дискретные:	Бернулли \| биномиальное \| геометрическое \| гипергеометрическое \| логарифмическое \| отрицательное биномиальное \| Пуассона \| равномерное	мультиномиальное
Абсолютно непрерывные:	Бета \| Вейбулла \| Гамма \| Колмогорова \| Коши \| логнормальное \| Лоренца \| нормальное \| равномерное \| Парето \| Стьюдента \| Фишера \| хи-квадрат \| экспоненциальное \| Эрланга	многомерное нормальное

править

Категория: Распределения вероятностей

Отрицательное биномиальное распределение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

[править] Определение

[править] Функции вероятности и распределения

[править] Моменты

Views

Навигация

Участие

Поиск