Выпуклая функция
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
В математике функция называется выпуклой (или выпуклой вниз) на некотором интервале (в общем случае на выпуклом подмножестве некоторого векторного пространства), если для любых двух точек x, y из этого интервала и для любого числа t, принадлежащего отрезку [0,1], выполняется неравенство
Если это неравенство является строгим для всех t из интервала (0,1), функция называется строго выпуклой; если выполняется обратное неравенство, функция называется вогнутой, или выпуклой вверх.
[править] Свойства выпуклых функций
Функция f, выпуклая на интервале C, непрерывна на всём C и дифференцируема на всём C за исключением, быть может, счётного множества точек.
Непрерывная функция f выпукла на C тогда и только тогда, когда для всех точек x и y, принадлежащих C, выполняется неравенство 
Непрерывно дифференцируемая функция одной переменной выпукла на интервале тогда и только тогда, когда её график лежит не ниже касательной, проведённой к этому графику в любой точке промежутка выпуклости.
Дважды дифференцируемая функция одной переменной выпукла на интервале тогда и только тогда, когда её вторая производная неотрицательна на этом интервале. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции строго положительна, такая функция является строго выпуклой, однако обратное неверно (например, функция f(x)=x4 строго выпукла на [-1,1], но её производная в точке x=0 равна нулю).
Если функции f, g выпуклы, то любая их линейная комбинация a f+b g с положительными коэффициентами a, b также выпукла.
Локальный минимум выпуклой функции является также глобальным минимумом (соответственно, для выпуклых вверх функций локальный максимум является глобальным максимумом).
Для выпуклых функций выполняется неравенство Йенсена:
где X — случайная величина со значениями в области определения функции f, E — математическое ожидание.
