Base (álgebra linear)
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Na álgebra linear, uma base de um espaço vectorial é um conjunto de vectores linearmente independentes que geram esse espaço.
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[editar] Exemplos
- O espaço vectorial
tem por base o conjunto 
, que se denomina a sua base canónica. - No plano, a recta de equação
tem por base o conjunto 
. - O espaço vectorial dos polinómios p(x) de coeficientes reais tem uma base infinita, o conjunto { 1, x, x2, x3, ... }.
[editar] Unicidade
Na maioria dos casos, um espaço vectorial pode ter mais de uma base. Os seguintes resultados, porém, são válidos:
- Se um espaço vectorial tem uma base B finita, então todas as outras bases também são finitas, e tem a mesma cardinalidade.
- De modo geral, supondo-se o axioma da escolha, duas bases de um espaço vectorial tem a mesma cardinalidade (mesmo se a base for um conjunto infinito)
[editar] Existência
Usando-se uma forma equivalente do axioma da escolha, o Lema de Zorn, é fácil mostrar que todo espaço vectorial tem uma base: basta aplicar o Lema de Zorn ao conjunto cujos elementos são conjuntos de vectores linearmente independentes, parcialmente ordenado pela inclusão de conjuntos.
Para se provar este teorema, é conveniente provar que dado qualquer conjunto linearmente independente de vectores S, então existe uma base B que extende S, ou seja, 
.
[editar] Subespaços vectoriais
Se o espaço vectorial V tem uma base B, e W é um subespaço vectorial de V, então W tem uma base B1, com as seguintes propriedades:
- Se B é um conjunto finito e W é um subconjunto próprio de V, então B1 tem menos elementos que B.
- No caso geral, pode-se apenas afirmar que a cardinalidade de B1 é menor ou igual que a de B.
