Macierz Grama
Z Wikipedii
Macierz Grama to macierz związana z liniowymi układami sterowania, która pozwala określić czy układ jest sterowalny.
[edytuj] Postać macierzy
Jak widać macierz ta jest macierzą symetryczną.
[edytuj] Twierdzenie
Warunkiem koniecznym i wystarczającym sterowalności układu liniowego jest odwracalność macierzy Grama (dla pewnego tf > 0).
[edytuj] Wzory
Załóżmy, że układ jest niesterowalny, zatem będzie istniał taki niezerowy wektor v, że Gv = 0, a tym samym vTGv = 0. Po wprowadzeniu wektora vT oraz v "pod całkę" zauważamy, że zawartość całki można zapisać jako iloczyn wTw (
). Następnie zauważamy, że:
- wTw = | | w | | 2.
Skoro G = 0, to | | w | | = 0, a tym samym w = 0. W ten sposób otrzymujemy (po dodatkowej transpozycji):
- vTe − sAB = 0.
Kolejne pochodne tego wzoru będą przedstawiały się (pomijając znak) jako:
, a po podstawieniu s = 0 otrzymamy ostatecznie iloczyn wektora vT z macierzą Kalmana.
