Czasoprzestrzeń Minkowskiego

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Czasoprzestrzeń Minkowskiego w fizyce i w matematyce przestrzeń matematyczna, która łącząc czas z trójwymiarową przestrzenią fizyczną pozwala w elegancki sposób opisać szczególną teorię względności Einsteina. Nazwę są zawdzięcza niemieckiemu matematykowi Hermannowi Minkowskiemu, który wprowadził ją w 1907.

[edytuj] Ujęcie matematyczne

W tym artykule obowiązuje konwencja sumacyjna.

Czterowymiarowa czasoprzestrzeń Minkowskiego formalnie jest rzeczywistą przestrzenią wektorową, w której zdefiniowana jest forma biliniowa nazywana iloczynem zewnętrznym i oznaczana jako $< u, v > ,$ (u i v są dwoma wektorami) spełniająca warunki:

biliniowości: $< a u + v, w > = a < u, w > + < v, w >$ , dla wszystkich a, u, v, i w
symetryczności: $< v, w > = < w, v >$
jeśli $< v, w >$ = 0 dla wszystkich w, to v = 0 (forma niezdegenerowana)

Warunek 3 może być osłabiony. Forma $< u, v >$ pozwala zdefiniować długość wektora

| v | 2 = < u, u >

Wektory jednostkowe e spełniają więc $| e | = 1$ . Punktowi p w czasoprzestrzeni przyporządkowujemy vektor x o czterech współrzędnych $x μ,μ = (0,1,2,3)$

x = x μ e μ

gdzie $e μ$ są czterema liniowo niezależnymi wektorami jednostkowymi. Powtarzanie się na przekątnej dwóch wskaźników oznacza sumowanie po $μ$ od 0 do 3 (umowa sumacyjna Einsteina). Długość dowolnego wektora do kwadratu to $| x | 2 = < x μ e μ, x ν e ν > = g μν x μ x ν$ gdzie g jest tensorem metrycznym zdefiniowanym przez wszystkie formy dla wektorów jednostkowych

g μν = < e μ, e ν >

Odległość między dwoma punktami o współrzędnych $(x + d x) μ$ i $x μ$ definiuje odległość (interwał czasoprzestrzenny)

d s 2 = g μν d x μ d x ν

Przestrzeń Minkowskiego jest przestrzenią globalnie płaską, w której

$g_{\mu \nu}= \eta_{\mu \nu}= \begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}$

W jawnej postaci długość wektora z to

| x | 2 = (x 0) 2 - (x 1) 2 - (x 2) 2 - (x 3) 2

Jeżeli przeważy składowa czasowa $x 0$ kwadrat długości $| x | 2 > 0$ - wektor taki nazywamy czasopodobnym. Jednak w czasoprzestrzeni Minkowskiego kwadrat długości może być $| x | 2 < 0$ - wektor nazywamy przestrzennopodobnym - gdy przeważy składowa przestrzenna. Przestrzeń Minkowskiego nie jest dobrze zdefiniowaną przestrzenią metryczną. Zbiór punktów dla których kwadrat długości

| x | 2 = (x 0) 2 - (x 1) 2 - (x 2) 2 - (x 3) 2 = 0

nazywamy stożkiem świetlnym. Jest to niespełnienie warunku 3 dla przestrzeni metrycznej. Zbiór ten ma jednak istotne znaczenie fizyczne. Jest to zbiór punktów w czasoprzestrzeni które można połaczyć promieniem świetlnym ( $x 0 = c t$ gdzie c jest prędkością światła w próżni). Jeżeli się widzimy, to znajdujemy się w czasoprzestrzeni na stożku świetlnym, interwał czasoprzestrzenny jest równy zero pomimo tego, że w przestrzeni 3 wymiarowej dzieli nas odległość.

Odległość w czasoprzestrzeni niezmiennicza jest względem transformacji

$x^{\mu} \rightarrow {x'}^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\nu}x^{\nu}+a^{\mu}$

Jest to transformacja Poincarego. Zbiór takich transformacji parametryzowanych przez macierze $Λ$ i wektor translacji a tworzy grupę przekształceń Poincarégo - grupę Poincarégo. Zachowanie odległości w czasoprzestrzeni narzuca warunki

$g_{\mu \nu}\Lambda^{\mu}_{\rho}\Lambda^{\nu}_{\tau}=g_{\rho \tau}.$

Są to macierze Lorentza. Tworzą one grupę Lorentza. Grupa Lorentza jest podgrupą grupy Poincarégo:

$x^{\mu} \rightarrow {x'}^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\nu}x^{\nu}.$

Następną podgrupą jest grupa translacji w czasoprzestrzeni

$x^{\mu} \rightarrow {x'}^{\mu}=x^{\mu}+a^{\mu}.$

Są to ciągle grupy Liego. Grupa translacji parametryzowana jest przez 4 parametry rzeczywiste a grupa Lorentza przez 6 parametrów. Symetrie te zgodnie z twierdzeniem Neother prowadzą do odpowiednich praw zachowania w fizyce.

Ruch w czasprzestrzeni Minkowskiego opisuje trajektoria $x μ (τ)$ gdzie τ jest parametrem niezminniczym ( nie czasem). Np. można zdefiniowć c dτ= ds gdzie s jest interwałem czasoprzestrzennym , τ nazywamy czasem własnym.

$d \tau =dt \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}.$

Analogicznie do wektora prędkości w przestrzeni 3 wymiarowej zdefiniować można czterowektor prędkości

$u^{\mu}=\frac{dx^{\mu}}{d\tau}=\{ \frac{c}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \frac{dx^i}{dt}\}$

i czterowektor pędu

p μ = m u μ .

Wektor pędu (μ=i={1,2,3}) w fizyce relatywistycznej ma postać

$p^i=m u^i=\frac{m}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \frac{dx^i}{dt}=m(v)\frac{dx^i}{dt}$

identyczną jak fizyce nierelatywistycznej jeżeli zamienimy masę spoczynkową m na masę relatywistyczną

$m(v)=\frac{m}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.$

Wielkości te nie są niezależne

u μ u μ = g μν u μ u ν = c 2

i podobnie

p μ p μ = g μν p μ p ν = m 2 c 2

Stąd otrzymujemy związek

$p_0=\frac{E_p}{c}=\pm \sqrt{\vec{p}^2+m^2 c^2}$

[edytuj] Historia

Minkowski wprowadził czasoprzestrzeń i używał jej Einstein w innej postaci niż używana obecnie.

Przyjął, że osie układu współrzędnych będą oznaczane przez x z indeksem xⁱ, i= {1,2,3,4}. Współrzędne przestrzenne i czas przekształcają się na nowe współrzędne w następujacy sposób:

x 1 = x

x 2 = y

x 3 = z

x 4 = i c t

gdzie $i = \sqrt{-1}$

W przestrzeni tej "odległość" (interwał czasowoprzestrzenny) określony jest tak jak odległość w trójwymiarowej przestrzeni:

S 2 = (x 1) 2 + (x 2) 2 + (x 3) 2 + (x 4) 2

Przestrzeń ta nie jest, tak jak obecna przestrzeń Minkowskiego, przestrzenią rzeczywistą, bo współrzędna odpowiadająca czasowi jest wielkością urojoną, urojoność współrzędnej czasowej zapewnia odpowiednią metrykę tej przestrzeni.

Źródło: "http://pl.wikipedia.org../../../c/z/a/Czasoprzestrze%C5%84_Minkowskiego_4457.html"

Kategoria: Teoria względności

Czasoprzestrzeń Minkowskiego

Z Wikipedii

[edytuj] Ujęcie matematyczne

[edytuj] Historia

Views

nawigacja

techniczne

zmiany

Szukaj

W innych językach