Ciało algebraicznie domknięte

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Ciało algebraicznie domknięte $F$ to takie ciało, w którym każdy wielomian stopnia co najmniej pierwszego jednej zmiennej ma pierwiastek w $F$ .

Każde ciało jest podciałem pewnego ciała algebraicznie domkniętego. Za przykład niech posłuży ciało liczb rzeczywistych. Ciało to nie jest algebraicznie domknięte: wielomian $w (x) = x 2 + 1$ nie ma pierwiastków w tym ciele.

Najmniejszym algebraicznie domkniętym ciałem zawierającym ciało liczb rzeczywistych jest ciało liczb zespolonych (dla powyższego wielomianu pierwiastkami w ciele liczb zespolonych są $i$ oraz $- i$ ). Mówimy, że ciało liczb zespolonych jest domknięciem algebraicznym ciała liczb rzeczywistych.

Twierdzenie mówiące o tym, że zbiór liczb zespolonych jest ciałem algebraicznie domkniętym nazywa się "zasadniczym twierdzeniem algebry" i pociąga za sobą istotne konsekwencje, jak chociażby fakt, że każdą macierz o współczynnikach zespolonych można sprowadzić do postaci Jordana.

[edytuj] Domknięcie algebraiczne ciała $\mathbb Z_p$

Nie istnieją ciała skończone, algebraicznie domknięte. Oznacza to, że istnieją ciała nieskończone o skończonej charakterystyce. Przykładem takiego ciała może być algebraiczne domknięcie ciała $GF(3) = \mathbb Z_3 = \{0,1,2\}$ :

Dla każdego $k = 1,2,\ldots$ istnieje jedyne ciało $G F (3 k)$ o $3 k$ elementach. Na przykład, ciało $G F (3 2)$ można reprezentować jako $\mathbb Z_3(\sqrt 2) = \{0,1,2, \; \alpha,\, \alpha +1,\, \alpha + 2,\; 2\alpha,\, 2\alpha +1, \,2\alpha + 2\}$ , gdzie $α 2 = 2$ .

Dla każdego $m,n\in \mathbb N\setminus \{0\}$ , $GF(3^m) \subseteq GF(3^n)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $m$ jest dzielnikiem liczby $n$ . Więc dla każdego $m, n$ można znaleźć skończone ciało $C$ obejmujące $G F (3 m)$ i $G F (3 n)$ , np ciało $G F (3 m n)$ . Z tego możemy wywnioskować, że suma wszystkich ciał $G F (3 n)$ jest znowu ciałem, który nazywamy $\mathbb {\overline Z}_3$ .

Każdy wielomian z współczynnikami w ciele $\overline \mathbb Z_3$ ma w rzeczywistosci współczynniki w pewnym ciele skonczonym $G F (3 n)$ , więc ma pierwiastek w pewnym skończonym rozszerzeniu ciała $G F (3 n)$ ; to rozszerzenie musi być ciałem skończonym o charakterystyce 3, tzn pewne ciało $GF(3^{n'}) \subseteq \mathbb {\overline Z}_3$ .