Aksjomat

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Aksjomat (inaczej postulat, pewnik, gr. [aksíoma] – godność, poważanie, wartość) – dowolna wypowiedź o pojęciu pierwotnym teorii sformalizowanej. Wypowiedź ta z formalnego punktu widzenia nie musi być "oczywiście prawdziwa", nie musi też odbijać jakiejkolwiek "rzeczywistości". Krótko mówiąc, jest to całkowicie dowolne zdanie – byle niesprzeczne wewnętrznie i poprawnie zbudowane (to znaczy zgodnie z regułami gramatyki obowiązującej w danej teorii).

Warto pamiętać, że skoro nie żądamy od aksjomatu "oczywistej prawdziwości", dyskusyjne staje się określenie czy teoria jest niesprzeczna, a nade wszystko czy da się ją zredukować do prostszego zestawu aksjomatów. Na przykład zgodnie z wyżej zaprezentowaną definicją jako aksjomat moglibyśmy przyjąć wielkie twierdzenie Fermata lub hipotezę Riemanna. Oczywiście teoria zbudowana na takich aksjomatach posługiwałaby się bardzo sztucznym zestawem pojęć pierwotnych. Co gorsza, nie wiedząc czy twierdzenia te są prawdziwe, nie moglibyśmy dowieść niesprzeczności teorii, jako że ze zdania fałszywego można wydedukować każde inne zdanie. W istocie teoria taka byłaby nieinteresująca i efektywnie nierozwojowa. W ramach teorii systemów formalnych, rozwijanych zwłaszcza w kontekście informatyki i teorii obliczeń, możliwa jest oczywiście budowa takich systemów, w których aksjomaty mają nawet wymyślną postać, jednak w rzeczywistych teoriach matematycznych, a zwłaszcza w takich, które są interesujące z matematycznego punktu widzenia, to znaczy generują istotne, nietrywialne i ciekawe twierdzenia, aksjomaty zawsze są zdaniami oczywiście prawdziwymi i prostymi.

Pierwszym uczonym postulującym stosowanie aksjomatycznej budowy teorii matematycznych był Platon.