Aksjomat indukcji
Z Wikipedii
Aksjomat indukcji to aksjomat, a właściwie nieskończony przeliczalny zbiór aksjomatów pierwszego rzędu, pozalogicznych rozważany zwłaszcza w teorii arytmetyki liczb naturalnych. Jest on formalizacją zasady indukcji matematycznej.
Jego treść przedstawia się następująco:
Gdzie 
oznacza: "dla każdego n" => to wynikanie (implikacja) ^ oznacza "i". Tak wyrażony aksjomat indukcji nie spełnia jednak założeń rozlicznych podejść, a w tym np. analizy Goedla niesprzeczności teorii matematycznych w szczególności arytmetyki. Problemem jest zupełna nieobliczalność relacji użytych do konstrukcji powyższego zdania: kwantyfikator ogólny "dla każdego n" nie da się bowiem zapisać jako funkcja obliczalna. Ponadto zdanie powyższe jest zdaniem drugiego rzędu z uwagi na użycie kwantyfikatora, co sprawia że operuje ono obiektami niezdefiniowanymi w teorii (zbiorem liczb naturalnych n, z którego mamy wybierać wartości: nie można go skonstruować zanim nie ustalimy listy aksjomatów i nie udowodnimy ich niesprzeczności).
Równoważnie aksjomat indukcji można zapisać jako koniunkcję zbioru aksjomatów w następującej postaci:
w której to notacji nie został użyty nieograniczony, a więc nieobliczalny (nierekurencyjny) kwantyfikator ogólny, zaś wszystkie zdania są pierwszego rzędu (wyrażają prawdy o zdefiniowanych wcześniej pojęciach pierwotnych arytmetyki, nie używając kwantyfikatora ogólnego). Uzyskujemy w ten sposób formalną poprawność sformułowania aksjomatu.
Aksjomaty indukcji są ważnym elementem teorii arytmetyki.
Jako ciekawostkę można nadmienić, że znane są przykłady twierdzeń, w których chociaż znamy dowody twierdzenia 'T(n)' dla każdego 'n', to twierdzenie T(n) nie może być dowiedzione w ramach arytmetyki liczb naturalnych (jest niedowiedlne), gdyż każdy z tych dowodów jest prowadzony za pomocą innych narzędzi i nie da się ich sprowadzić do kroku indukcyjnego (a więc rozumowania wykazującego T(n)=>T(n+1)), zapisanego za pomocą języka arytmetyki i obejmującego wszystkie możliwe wartości n (dla każdego n pojawia się pewien nowy element niewystępujący dla innych n).
[edytuj] Literatura
- Roman Murawski "Funkcje rekurencyjne i elementy metamatematyki. Problemy zupełności, rozstrzygalności, twierdzenia Gödla", Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań 1990.
