Sannhetsfunksjon

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi

Sannhetsfunksjoner (logiske operasjoner eller junksjoner) er funksjoner som ikke opererer med tall, men med de to sannhetsverdiene sann og falsk. Sannhetsfunksjoner står sentrale i setningslogikken, der de brukes for å knytte sammen ett eller flere utsagn («setninger»). Sannhetsfunksjonens resultat avhenger av om enkeltutsagnene er sanne eller falske.

Ordene som knytter sammen utsagnene i en sannhetsfunksjon, kalles logiske konnektiver eller junktorer.

[rediger] Oversikt over funksjoner og junktorer

De viktigste sannhetsfunksjonene og deres logiske konnektiver er:

negasjon (konnektiv: ikke, symbol: «¬»),
inklusiv disjunksjon (eller, « $\lor$ »),
konjunksjon (og, « $\land$ »).

Alle andre sannhetsfunksjoner kan avledes av de tre førstnevnte. Tre andre funksjoner som også forekommer ofte, er:

subjunksjon (også implikasjon; hvis, så, «→»),
bisubjunksjon (også ekvivalens; hvis og bare hvis, så, «↔»).
eksklusiv disjunksjon (enten–eller, «»),

Utover disse brukes spesielt i digitalteknikken to ytterligere funksjoner:

injunksjon (verken–eller, «NOR»),
eksklusjon (ikke begge, «|», «NAND»).

Totalt fins det 16 ulike sannhetsfunksjoner som kan knytte sammen to utsagn. Den fullstendige oversikten finner du i tabellen nederst på siden. To av disse funksjonene er uavhengige av enkeltutsagnene (hhv. tautologi og selvmotsigelse), mens fire kun avhenger av ett av utsagnene. Sju av de resterende ti er nevnt over. De tre som hittil ikke ble nevnt, brukes ytterst sjelden. Den ene heter abjunksjon (men ikke), og de to siste er de konverse (dvs. «motsatte») sannhetsfunksjonene av subjunksjon («←») og abjunksjon (ikke–men).

[rediger] Sammenheng med algebra

Setningslogikken hører til boolsk algebra og har således også flere fellestrekk med algebra. Parallellene blir tydelige når man forestiller seg sannhetsverdiene som tall (falsk = 0, sann > 0), den inklusive disjunksjonen som addisjon («+») og konjunksjonen som multiplikasjon («·»). Nå ser man at multiplikasjonen (konjunksjonen) av flere tall (utsagn) blir null (falsk), hvis minst ett av tallene (utsagnene) er null (falsk). Derimot er addisjonen (disjunksjonen) av flere tall (utsagn) større enn null (sann), hvis minst ett av tallene (utsagnene) er større enn null (sant). Også den kommutative, assosiative og den distributive lov gjelder for både addisjon og multiplikasjon på den ene siden, og inklusiv disjunksjon og konjunksjon på den andre siden.

Setningslogikk

Sannhetstabell (0 = falsk, 1 = sant):