Variantie

De variantie (zie statistiek) is een maat voor de "breedte" van een verdeling (zie ook standaarddeviatie). Er dient onderscheid gemaakt te worden of we te maken hebben met de gehele populatie of met een steekproef daaruit. De (populatie)variantie $σ 2$ is het gemiddelde van de kwadraten van de afwijkingen δ van de waarden t.o.v. het gemiddelde $μ$ van de populatie. De gebruikelijke (steekproef)variantie s² is een soort gemiddelde van de kwadraten van de afwijkingen δ van de metingen t.o.v. het steekproefgemiddelde $\bar{x}$ . De formules luiden:

voor de populatievariantie:

$\sigma^2 = \frac 1n \sum \delta^2 =\frac 1n \sum (x - \mu)^2= \frac 1n\sum x^2 - \mu^2$

voor de steekproefvariantie:

$s^2 = \frac 1{n-1}\sum \delta^2 = \frac 1{n-1}\sum (x - \bar{x})^2= \frac 1{n-1}\sum x^2 - \frac n{n-1}\bar{x}^2$

Als het steekproefgemiddelde nog niet bekend is, hoeft deze niet eerst apart uitgerekend te worden:

$s^2 = \frac 1{n-1}\left( \sum{x^2} - \frac 1n (\sum{x})^2 \right)$

Als de populatieverdeling gegeven is als kansverdeling van een stochastische variabele X, is de variantie (van X) gedefinieerd als de verwachtingswaarde van de kwadratische afwijkingen van de verwachingswaarde van X:

$\mathrm{var}(X) = E(X-EX)^2 =EX^2-(EX)^2\,$ .

Zie ook: variantie-analyse. De wortel van de variantie wordt standaardafwijking genoemd.

[bewerk] Voorbeeld

Een steekproef ter grootte van n=5 levert de resultaten 1, 2, 3, 4, 5. Dus $\bar{x}=3$ . De variantie is

$s^2 = \frac{1}{4}\left((1-3)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2+(5-3)^2\right) = \frac{1}{4}\left(4+1+0+1+4\right)=2\frac{1}{2}.$

[bewerk] Analogie

In de mechanica is het analogon van de variantie het traagheidsmoment van een voorwerp, dus van een massaverdeling.

Elektrisch vermogen (natuurkunde) is evenredig met het kwadraat van de spanning, zodat het vermogen van een (willekeurig) signaal gelijk is aan een constante maal de variantie van dat signaal.

Onderwerpen uit de beschrijvende statistiek

Categorieën: Kansrekening | Statistiek

Variantie

[bewerk] Voorbeeld

[bewerk] Analogie

Views

Navigatie

Informatie

Zoeken

in andere talen