Stemming van Pythagoras
De stemming van Pythagoras is een stemming waarin zo veel mogelijk reine kwarten en kwinten aanwezig zijn.
Inhoud |
[bewerk] Mesos als uitgangspunt
Pythagoras vertrok in zijn muziekbeschrijvingen vanuit de μέσος (mesos = middelste toon), tegenwoordig in het algemeen weergegeven d.m.v. a1. Dit staat in tegenstelling tot het huidige muziektheoretische denken, waarin men altijd van onder naar boven denkt, en vanuit grondtonen de fenomenen van samenklank verklaart.
Uitsluitend door gebruik te maken van de intervallen die bepaald worden door de eerste 4 harmonischen (octaaf, kwint en kwart), construeerde hij zijn toonladder.
De eerste vier harmonischen zijn a, a1, e2 en a2. Deze kregen de nummers 1, 2, 3 en 4 en ontstaan bij de snaarlengtes 1, 1/2, 1/3 en 1/4 op het door Pythagoras gebruikte monochord.
Daarmee waren de breuken gevonden, die de intervallen kwantificeerden. De snaarlengtes kunnen worden vermenigvuldigd met:
- 2 = octaaf omlaag
- 1/2 = octaaf omhoog
- 3/2 = kwint omlaag
- 2/3 = kwint omhoog
- 4/3 = kwart omlaag
- 3/4 = kwart omhoog
Met behulp van deze natuurzuivere intervallen werd een toonladder berekend, die zo'n slordige 17 eeuwen lang, tot aan het begin der middeleeuwse polyfonie, bruikbaar is gebleken.
- De toonladder van Pythagoras ziet er zo uit:
-
de tonen E D C B A G F E de constructie 2/3 3/4 27/32 8/9 1 9/8 81/64 4/3 snaarlengtes 1 9/8 256/243 4/3 3/2 27/16 243/128 2 toonsafstanden 9/8 9/8 256/243 9/8 9/8 9/8 256/243
[bewerk] Constructie
- Afgeleid uit a1 (=1):
- e2: 1 × 2/3 = 2/3 (kwint omhoog).
- e1: 1 × 4/3 = 4/3 (kwart omlaag).
- d2: 1 × 3/4 = 3/4 (kwart omhoog).
- Afgeleid uit de e1 werd:
- b1: 4/3 × 2/3 = 8/9 (kwint omhoog).
- Beginnend met de d2 werden de overige tonen één voor één uit elkaar afgeleid:
- g1: 3/4 × 3/2 = 9/8 (kwint omlaag), daaruit werd afgeleid:
- c2: 9/8 × 3/4 = 27/32 (kwart omhoog), daaruit werd afgeleid:
- f1: 27/32 × 3/2 = 81/64 (kwint omlaag).
[bewerk] Diatoniek
Opmerkelijk is dat er slechts twee verschillende secundes in zijn, een grote en een kleine. De afstand tussen twee tonen wordt gemeten door het getal van de eerste (hoogste toon) te delen door die van de lagere, dezelfde uitkomst verkrijgt men door te vermeningvuldigen met de eerste, maar dan omgekeerde breuk (in feite wordt zo de stijgingsratio berekend):
- e2 tot d2: 3/2 × 4/3 = 9/8
- d2 tot c2: 4/3 × 27/32 = 108/96 = 9/8
- c2 tot b1: 32/27 × 8/9 = 256/243
- b1 tot a1: 9/8 × 1 = 9/8
- a1 tot g1: 1 × 9/8 = 9/8
- g1 tot f1: 8/9 × 81/64 = 648/576 = 9/8
- f1 tot e1: 64/81 × 4/3 = 256/243
[bewerk] Dalende toonladder
De complete toonladder kan nu ook vanuit de e worden beschreven. Opmerkelijk is, dat Pythagoras dezelfde stappen als de huidige basistoonladder in de westerse muziektheorie vond: 1 - 1 - 1/2 - 1 - 1 - 1 - 1/2, maar dan dalend (vergelijk de huidige majeurtoonladder, met dezelfde toonsafstanden, in dezelfde volgorde, maar dan stijgend!).
- e2: 1
- d2: 9/8 (grote secunde omlaag)
- c2: 9/8 × 9/8 = 81/64 (tweemaal grote secunde is grote terts omlaag)
- b1: 81/64 × 256/243 = 4/3 (grote terts plus kleine secunde is reine kwart omlaag)
- a1: 4/3 × 9/8 = 3/2 (reine kwart plus grote secunde is reine kwint omlaag)
- g1: 8/2 × 9/8 = 27/16 (reine kwint plus grote secunde is grote sext omlaag)
- f1: 27/16 × 9/8 = 243/128 (grote sext plus grote secunde is grote septiem omlaag)
- e1: 243/128 × 256/243 = 2 (grote septiem plus kleine secunde is octaaf omlaag)
[bewerk] Komma
Pythagoras' systeem lijkt ideaal en natuurzuiver, vanwege zijn hermetische constructie. Voor polyfone muziek is deze stemming echter ongeschikt, omdat de door Pythagoras gebruikte tertsen teveel afwijken van de natuurzuivere tertsen 4/5 en 5/6 (en dus voor samenklank onbruikbaar worden). Deze afwijking ten opzichte van het natuurzuivere interval heet didymisch, of syntonisch komma.
Een tweede "onvolkomenheid", het Pythagoreïsch komma, berekent (i.t.t. beschrijft) hoe en waarom het onmogelijk is, een toonladder met consistent zowel natuurreine octaven als kwinten te construeren.
[bewerk] verschil met de reine stemming
Als we de verhoudingen zoals die door de breuken wordt aangegeven omrekenen naar cent en een tabel opstellen kunnen we de de stemming van pythagoras met de reine stemming vergelijken. Als we de (grote) afwijkingen in de chromatische stappen buiten beschouwing laten dan valt op dat de grote terts (C-E) maar liefst 22 cent te hoog is, en daarmee nagenoeg onbruikbaar voor akkoorden.
-
noot Rein Pythagoras verschil C 0 0 0 Cis 71 114 43 Des 112 90 -22 D 204 204 0 Dis 275 318 43 Es 316 294 -22 E 386 408 22 Fes 427 384 43 Eis 457 522 65 F 498 498 0 Fis 590 612 22 Ges 631 588 -43 G 702 702 0 Gis 773 816 43 As 814 792 -22 A 884 906 22 Ais 977 1020 43 Bes 1018 996 -22 B 1088 1110 22 Ces 1129 1086 -43 Bis 1159 1224 65 C 1200 1200 0
[bewerk] methodologie
Het opstellen van de pythagoreaanse stemming was in Europa historisch gezien een van de eerste wetenschappelijke overgangen van een oorspronkelijk kwalitatief, naar een meer kwantitatief beschouwen van de werkelijkheid. Met andere woorden, Pythagoras gebruikte het getal, in plaats van het woord, als voornaamste bewijsmiddel. In andere, niet-westerse, culturen was zoiets al eerder geschied (zoals bijvoorbeeld bij de Maya's).
