Impedantie

Impedantie is een begrip dat wordt gebruikt in de beschrijving van een lineaire respons op een tijdsafhankelijk signaal. Het vindt in een aantal op het oog tamelijk verschillende vakgebieden toepassing:

• In de elektrotechniek voor de beschrijving van frequentie-afhankelijk gedrag van elektrische stromen.
• Een vergelijkbare beschrijving geldt voor warmtestromen.
• In de studie van viscoelasticiteit wordt een wiskundig geheel vergelijkbare beschrijving gebruikt voor de beschrijving van trillingen.
• In de akoestiek wordt het weerkaatsen van geluidsgolven ermee beschreven.
• In de mechanica beschrijft de impedantie het verband tussen de kracht op het mechanisch systeem en de bijhorende beweging (verplaatsing, snelheid én versnelling).

Inhoud 1 Elektriciteitsleer 1.1 De complexe impedantie 1.2 Rekenen met impedanties 1.3 Fasehoek 1.4 Meerdere frequenties 2 Warmtestromen 3 Viscoelasticiteit 4 Akoestiek

[bewerk] Elektriciteitsleer

De elektriciteitsleer duidt met het woord impedantie een veralgemening aan van het begrip weerstand, tot spoelen en condensatoren. Onder de impedantie Z van een component verstaat men het quotiënt van de aangelegde elektrische spanning U en de resulterende elektrische stroom I:

.

Dit is een veralgemening van de Wet van Ohm voor een gewone weerstand. Anders dan in dat geval is de impedantie van andere componenten veelal afhankelijk van de frequentie van het aangelegde signaal.

Men zou kunnen zeggen dat de weerstand een soort hindernis voor de stroom vertegenwoordigt en hoe groter deze hindernis is, hoe kleiner de stroom bij een gegeven spanning. Dit geldt evenzeer voor wisselstroom als voor gelijkstroom.

Er zijn echter nog twee andere soorten 'hindernissen' die de elektrische stroom op zijn pad van hoge naar lage spanning kan tegenkomen. De ene vorm is de condensator en de andere de spoel (of zelfinductie); beide zijn belangrijke bouwstenen in de elektrotechniek.

Wordt een gelijkspanning aangelegd over een condensator, dan komt voor korte tijd een stroom tot stand, die echter ophoudt zodra de condensator opgeladen is. Op lange termijn is de effectieve weerstand theoretisch gezien oneindig. In de praktijk blijft er echter nog een kleine lekstroom.

Wordt een gelijkspanning aangelegd over een spoel, dan gebeurt er aanvankelijk vrijwel niets. De stroom komt maar langzaam op gang doordat er in de spoel eerst een magnetisch veld opgebouwd moet worden. Op lange termijn is de effectieve weerstand van de spoel nul. In de praktijk heeft een spoel ook enige 'gewone' weerstand.

Bij het aanleggen van wisselspanning kan er zowel bij de spoel als de condensator een wisselstroom doorgeleid worden, maar hoe groot de impedantie (zoals de 'hindernis' genoemd wordt) is, hangt af van de frequentie van de wisselspanning. Condensatoren hebben een kleine impedantie voor hoge frequenties, spoelen juist voor lage.

Met behulp van complexe getallen kan dit elegant beschreven worden. In de elektrotechniek wordt bij notatie van complexe getallen steeds het symbool j in plaats van i geschreven, dit om verwarring met het symbool voor stroomsterkte, I, te voorkomen.

[bewerk] De complexe impedantie

Bij een aangelegde wisselspanning in de vorm van een zuiver harmonisch signaal met hoekfrequentie ω kan de complexe impedantie van de diverse componenten bepaald worden. Er geldt:

Z_R = R (voor een weerstand met weerstandswaarde R)

Z_L = jωL (voor een spoel met zelfinductie L)

Z_C = 1/jωC (voor een condensator met capaciteit C)

In de praktijk zal de impedantie van een component een combinatie zijn van deze mogelijkheden.

Schrijft men de complexe impedantie Z als som van een reëel deel (R) en een imaginair deel(jX), dan noemt men R de weerstand en X de reactantie:

Z = R + jX

[bewerk] Rekenen met impedanties

In een serieschakeling van componenten worden, net als bij weerstanden, de impedanties opgeteld:

In een parallelschakeling van componenten worden, net als bij weerstanden, de geleidingen opgeteld voor het totaal:

Uiteraard moeten daarbij de rekenregels van de complexe wiskunde in acht genomen worden.

Voorbeeld

Een weerstand R, een zelfinductie L en een capacititeit C in serie levert een impedantie Z = R + jωL + 1/jωC = R + j (ωL - 1/ωC) op.

[bewerk] Fasehoek

Indien de impedantie alleen uit weerstanden bestaat, bijvoorbeeld Z = R voor een enkele weerstand, dan is de stroom I in fase met de aangelegde spanning V, ongeacht de pulsatie ω. Zodra er echter ook capacitieve en/of inductieve elementen vervat zijn in Z is dit niet meer het geval. In zulke gevallen loopt de stroom ofwel voor ofwel achter bij de spanning. De fasehoek wordt bepaald door het argument van Z:

arg(Z) = atan(Im(Z)/Re(Z))

Omdat in zowel Z_L als Z_C de frequentie voorkomt is de fasehoek frequentie-afhankelijk.

De fasehoek geeft aan in welke mate de aangeboden elektrische energie omgezet wordt in en verloren gaat als warmte (dissipatie). Als de hoek nul is is dat effect het grootst. Bij fasehoeken van +90^o of -90^o gaat de energie niet verloren als warmte maar wordt in een magnetisch of elektrisch veld opgeslagen.

[bewerk] Meerdere frequenties

Een willekeurig signaal -de aangelegde spanning- kan altijd als een som van sinusgolven beschreven worden (zie Fourier transformatie). In een lineair systeem kan dan voor iedere frequentie afzonderlijk de eigen impedantie beschouwd worden.

[bewerk] Warmtestromen

Wanneer aan een voorwerp een hoeveelheid warmte ΔQ wordt toegevoegd, neemt de temperatuur toe met ΔT volgens:

,

waarin C_p de warmtecapaciteit van het voorwerp is. Heerst tussen de uiteinden van een voorwerp een temperatuurverschil ΔT, dan wordt de warmtestroom Φ door het voorwerp beschreven door de Wet van Newton:

,

waarin R de thermische weerstand voorstelt. De analogie met een condensator en de Wet van Ohm ligt voor de hand. In geval van een periodiek wisselend temperatuurverschil zal dus analoog een complexe thermische impedantie ingevoerd kunnen worden.

Net als bij elektrische schakelingen vertegenwoordigt het product RC= τ een tijdsconstante, die de tijdschaal voorstelt waarop het voorwerp in staat is de temperatuurschommelingen te volgen.

[bewerk] Viscoelasticiteit

In de beschrijving van mechanisch gedrag van materialen kan men twee elementen onderscheiden, de viscositeit (stroperigheid) en de elasticiteit. Zij beschrijven op een vergelijkbare wijze het (lineaire) mechanische gedrag van een materiaal, wanneer dit aan een mechanische trilling met frequentie ω wordt blootgesteld als hierboven het geval was voor een elektrische trilling. Een visceus element (een demper) speelt dan de rol van een weerstand, terwijl een elastisch element (een veer) vergelijkbaar gedrag vertoont als een condensator. In de demper wordt mechanische energie naar warmte gedissipeerd, in de veer juist in potentiële energie opgeslagen.

In het viscoelastische geval schrijft men de belasting (? stress) en de vervorming (? strain) als complexe exponenten zoals hierboven de spanning en de stroom. Men spreekt bij de verhouding tussen de twee echter eerder van de complexe modulus dan van de complexe impedantie.

Helaas is de respons in dit geval veel eerder niet-lineair dan in het geval van een elektrisch signaal, waardoor het niet altijd mogelijk is om Fourier analyse toe te passen.

Er is in de mechanica ook een element dat vergelijkbaar is met de spoel of zelfinductie, namelijk de traagheid of trage massa. In de beschrijving van viscoelasticiteit speelt het meestal geen rol.

[bewerk] Akoestiek

Ook in de akoestiek kunnen dezelfde rekenregels toegepast worden voor de beschrijving van de wisselwerking tussen een geluidsgolf met frequentie ω en een oppervlak waar de golf mee in botsing komt . Hier is de impedantie van een oppervlak de verhouding tussen de ogenblikkelijke geluidsdruk p en de instantane deeltjessnelheid v.

Ook hier kunnen de ogenblikkelijke druk p en ogenblikkelijke deeltjessnelheid v als complexe exponenten geschreven worden, zoals hierboven de spanning en de stroom. Uit de verhouding volgt een impedantie:

Z = p / v

Opnieuw is deze akoestische impedantie een complex getal. Een elastische botsing met een hard oppervlak komt overeen met het geval van de elastische veer en de condensator hierboven, terwijl een zacht oppervlak ook een verliescomponent heeft die tot dissipatie tot warmte leidt, vergelijkbaar met wat in een demper of een weerstand gebeurt. Hiermee is de akoestische impedantie een veralgemening van de geluidsabsorptie.

De beschrijving van de voortplanting van geluidsgolven in een vast materiaal is een bijzonder geval van de viscoelasticiteitsleer.