유전율

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물질의 유전율은 전기장이 얼마나 그 매질에 영향을 미치는지, 얼마나 그 매질에 의해 영향을 받는지를 나타내는 물리적 단위이다. 유전율은 매질이 저장할 수 있는 전하량으로 볼 수도 있다. 같은 양의 물질이라도 유전율이 더 높으면, 더 많은 전하를 저장할 수 있다.

높은 유전율은 전기장을 감소시킨다. 그래서 축전기(capacitor) 내부에 있는 유전체를 높은 유전율을 가진 물질로 사용하면, 축전기의 전기용량(capacitance)가 커지게 된다.

전자기학에서는, 물질에 가해진 전기장 E가 얼마나 물질의 구성에 영향을 마치는지 나타내는 정도를 전기변위장(electric displacement field) D로 정의한다. 이 전기변위장 D와 유전율과의 관계는 다음과 같다.

$\mathbf{D}=\varepsilon \cdot \mathbf{E}$ ,

ε은 매질(medium)이 등방성(isotropic)을 가질때에는 스칼라이지만, 그렇지 않은 경우에는 3x3 행렬로 표현된다.

유전율은 실수이거나 복소수이다. 일반적으로 유전율은 상수값이 아닌데, 이것은 유전율이 매질의 부분, 그 매질에 가해진 장(field)의 주파수, 습도, 온도등과 같은 여러 요인에 의해 영향을 받기 때문이다.

SI단위에서 유전율은 미터당 패럿으로 표현된다(F/m). 전기변위장 D는 평방미터당 쿨롱으로 표현되며(C/m²), 전기장 E는 미터당 전압으로 표현된다(V/m). D와 E는 전하에 의해 발생하는 같은 현상을 나타낸다. D는 전하의 전기선속(electric flux)을 나타내는데 유용하고, E는 전기선속내에 있는 단위 전하에 작용하는 힘을 측정하는데 이용한다. 자유공간의 유전율 $\varepsilon_0$ 은 진공에서 D와 E사이의 관계를 나타내는 값(scale factor)이다. $\varepsilon_0$ 은 $8.8541878176\ldots \times 10^{-12} F/m$ 이다. $\varepsilon_0$ 은 상수이지만, 국제 단위계(SI)에서는 미터당 패럿(F/m)이라는 단위를 붙인다. SI에서, 힘의 단위는 뉴턴, 전하의 단위는 쿨롱, 거리의 단위는 미터, 에너지의 단위는 줄을 사용한다..

[편집] 진공의 유전율

물질의 유전율은 보통 진공의 유전율에 대한 상대적인 값(상대 유전율)로 나타낸다. $\varepsilon_{r}$ (이 값을 유전상수라고도 한다) 실제 유전율은 상대 유전율에다 $\varepsilon_{0}$ 를 곱해서 구할 수 있다.

$\varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0$

진공의 유전율(자유 공간의 유전율) $\varepsilon_{0}$ 은 진공상태에서 D/E 값이다. 이 진공의 유전율은 쿨롱의 법칙의 쿨롱 힘 상수에도 사용된다.(쿨롱 힘 상수는 진공에서 단위 전하 두개가 단위거리만큼 떨어져 있을때 서로 작용하는 힘의 크기이다)

$\varepsilon_0 = \frac{1}{c^2\mu_0} = 8.8541878176\ldots \times 10^{-12} F/m$ ,

여기서 $c$ 는 빛의 속도 이고, $μ 0$ 는 진공의 투과성(permeability)이다. 이 세 값은 모두 SI 단위에 정확히 정의 돼 있다.

[편집] 매질의 유전율

실온에서 여러 물질의 유전상수
물질	유전상수
진공	1 (정의에 의함)
공기	1.0005
테플론	2
종이	3
고무	7
메탄올	30
물	80
Barium titanate	1200

등방성을 가진 매질의 경우에는, D와 E가 평행 벡터이고, $\varepsilon$ 는 스칼라이다. 하지만 일반적으로 매질이 등방성을 갖지 않는 경우에는, $\varepsilon$ 는 2차 텐서이다(따라서 birefringence를 일으킨다). 물질의 유전율 $\varepsilon$ 과 자기 투과율 $μ$ 은 그 물질에서 전자기파의 위상속도(phase velocity)를 다음과 같이 결정한다.

$\varepsilon \mu = \frac{1}{v^2}$

매질에 전기장이 가해지게 되면, 전류가 흐른다. 실제 매질을 통해 흐르는 전체 전류는 두 부분으로 구성된다. 이는 전도와 변위전류이다. 변위전류는 물질이 전기장에 용수철처럼 탄성반응을 하는 것이라고 생각할 수 있다. 물질에 가하는 전기장을 세게 하면 물질에 저장되는 변위전류는 증가하고, 전기장을약하게 하면 물질에 저장되어있던 변위전류가 줄어든다. 전기적 변위는 진공에 의한것과, 다음 공식처럼 물질에 의한 것으로 나눌 수 있다.

$\mathbf{D} = \varepsilon_{0} \mathbf{E} + \mathbf{P} = \varepsilon_{0} \mathbf{E} + \varepsilon_{0}\chi\mathbf{E} = \varepsilon_{0} \mathbf{E} \left( 1 + \chi \right)$ ,

P는 매질의 분극이고, $χ$ 는 전기적 감수율(얼마나 민감한지)이다. 따라서 물질의 상대 유전율과 감수율은 다음과 같은 관계를 갖게 된다. $\varepsilon_{r} = \chi + 1$ .

[편집] 복소수 유전율

진공과는 달리, 실제 물질이 외부의 장(field)에 반응하는 것은 보통 그 장(field)의 주파수에도 영향을 받는다. 주파수에 영향을 받는다는 것은, 물질의 분극이 장(field)에 즉시 반응하지 않는다는 것을 뜻한다. 물질이 반응하는 것은 언제나 장(field)이 가해진 다음에 일어난다. 그래서 유전율은 종종 가해진 장(field)의 주파수에 대한 복소함수로 간주한다. $ω$ , $\varepsilon \rightarrow \hat{\varepsilon}(\omega)$ 그래서 유전율의 정의는 다음과 같아진다.

$D_{0}e^{i \omega t} = \hat{\varepsilon}(\omega) E_{0} e^{i \omega t},$

$D 0$ 와 $E 0$ 은 각각 변위장(displacement field)와 전기장의 크기를 나타내고, $i=\sqrt{-1}$ 은 단위 복소수이다. 정적인 전기장에 대한 매질의 반응은 위의 유전율에서 주파수를 0으로 극한을 취해서 표현할 수 있으며, 이 유전율을 정적 유전율 혹은 유전 상수 $\varepsilon_{s}$ (또는 $\varepsilon_{DC}$ )라고 한다.

$\varepsilon_{s} = \lim_{\omega \rightarrow 0} \hat{\varepsilon}(\omega)$

주파수를 무한대로 극한을 취한 경우의 복소 유전율은 보통 ε_∞라고 쓴다. 플라즈마 주파수나 그 이상의 주파수에서, 전자기체운동(electron gas behavior)때문에 유전체는 이상적인 금속과 같은 성질을 갖는다. 정적 유전율은 낮은 주파수로 진동하는 장(field)에서의 유전율과는 비슷한 값이고, 주파수가 점점 높아지면, D와 E사이의 위상차 $δ$ 가 커지기 시작한다. 위상차가 커지는 주파수는 온도와 물질의 특성에 따라 달라진다. 보통정도의 장 세기(field stringth)( $E 0$ )에서 D와 E는 비례하고 다음과 같은 공식이 성립한다.

$\hat{\varepsilon} = \frac{D_0}{E_0}e^{i\delta} = |\varepsilon|e^{i\delta}$ .

그림:Dielectric responses.jpg

A dielectric permittivity spectrum over a wide range of frequencies. Various processes are labeled on the image: ionic and dipolar relaxation, and atomic and electronic resonances at higher energies.

물질이 변화하는 장(alternating field)에 반응하는 것은 복소 유전율로 표현되기 때문에, 다음과 같이 이 복소 유전율의 실수부와 허수부를 나누어 보자.(관습적으로 쓰이는 방식이다)

$\hat{\varepsilon}(\omega) = \varepsilon'(\omega) - i\varepsilon''(\omega) = \frac{D_0}{E_0} \left( cos\delta - i\sin\delta \right)$ .

위 등식에서, $\varepsilon''$ 은 유전율의 허수부이다. 유전율의 실수부 $\varepsilon'$ 은 매질에 의한 에너지 분산 비율과 관계가 있다.

복소 유전율은 보통 &omega에 관한 복잡한 함수이다. 왜냐하면 여러 주파수에 발생하는 분산현상을 모아놓은것이기 때문이다. 유전율 함수 $\varepsilon(\omega)$ 는 허수부가 양수인 경우에만 폴을 갖는다. 따라서 크레이머-크로닉 관계를 만족시킨다. 하지만, 실제로 좁은 주파수 영역에 대해 연구해 보면, 유전율은 주파수에 무관하거나, 모델 함수로 근사화할 수 있다.