삼각수
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삼각수(三角數)는 일정한 물건으로 삼각형 모양을 만들어 늘어 놓았을 때, 그 삼각형을 만들기 위해 사용된 물건의 총 수가 되는 수를 말한다.
예를 들어 아래와 같이 네 줄에 걸쳐 삼각형을 만들었을 때 늘어놓은 물건의 총 수는 10개가 되며, 10은 삼각수의 하나가 된다.
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삼각수의 수열은 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, ... 과 같고, n 번째의 삼각수 N 은 N = n(n+1)/2 으로 나타낼 수 있다. 모든 자연수는 최대 3개의 삼각수의 합으로 표현할 수 있다는 정리가 있으며, 이는 가우스가 1796년 (가우스의 일기에 따르면 7월 10일)에 증명하였다. 이 정리는 모든 자연수는 최대 n 개의 n 각수의 합으로 표현할 수 있다는 페르마의 다각수정리의 한 경우이다.
[편집] 사면체수
삼각수의 개념을 공간으로 확장하여, 물체를 사면체를 이루도록 공간에 배치했을 때의 물체의 총 수를 사면체수라고 한다. 제 n 사면체수는 제 1 삼각수에서부터 제 n 삼각수까지의 합이고, 그 값 N 은 다시 N = n(n+1)(n+2)/6 으로 쓸 수 있다. 나아가 한번 일반화시키면, 삼각수에서 사면체수를 알아낸 것과 마찬가지로 사면체수의 합으로 4 차원 공간에서의 삼각수인 5포체수를 정의할 수 있다. 일반 차원의 공간(여기에서는 r 차원)까지 개념의 확장을 실시했을 때, 제 n 번째의 그 수 Tr(n)은
이다.
사면체수를 1항부터 몇 개 써보면 다음과 같다.
1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969
