総乗

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総乗（そうじょう）とは、積の定義される集合における多項演算の一つで、元の列のすべての積をあらわしたものである。

[編集] 定義

結合律を満たす積 × の定義される集合 M の元の列 a₁, a₂, ..., a_n の総乗を

$\prod_{k=1}^n a_k=a_1\times a_2\times\cdots\times a_n$

などとあらわす。記号 ∏ はギリシャ文字のパイ(Pi) であり、これは積 (Product) の頭文字 P に相当する文字である。

有限集合 E に対し、E の濃度を n とする。このとき、E の元を I = {1, 2, ..., n} で添え字付けて、E の元の全体を I を添え字集合とする元の列 (x_i)_i∈I と思うことができる。この列の総乗を

$\prod E = \prod_{x \in E} x = \prod_{i\in I} x_i = \prod_{k=1}^n x_k$

などのように表す。ここで、E の濃度が 0、すなわち、添え字集合 I が空集合であっても良い。特に、集合 M が積 × に関する単位元 1_M をもつとき、空集合を添え字集合とする列（空な列）の総乗は 1_M であるとする。

$\prod \emptyset = \prod_{x \in \emptyset} x = 1_M$

[編集] 積が非結合的な場合

積が結合的でないならば、積をとる順番が問題になるので、a₁ × a₂ × … × a_n という記号自体が意味を持たないが、たとえば、部分列を用いて以下のように帰納的に定義することは可能である。

p₁ = a₁,
p_k+1 = p_k × a_k+1

このとき、p_n = ∏_k=1ⁿ a_k と書くことにすると、

$\prod_{k=1}^n a_k = (\cdots((a_1 \times a_2)\times a_3)\times \cdots \times a_n)$

の意味になる。このようなものはあまり応用がない。

[編集] 無限乗積

総和と同様に、可算無限列 (x_n)_n∈N や非可算無限列 (x_λ)_λ∈Λ の総乗

$\prod_{n=1}^\infty x_n, \quad \prod_{\lambda\in\Lambda} x_\lambda$

を定義することができ、無限積とか無限乗積 (infinite product) と呼ばれる。これらは極限操作であり、適当な意味で収束性を吟味しなければならない。可算無限列であれば、部分有限積の極限を以ってその総乗の値であるとする。

[編集] 無限数列の総乗

実数や複素数からなる無限数列の総乗に関して考えよう。数列の中に 0 が現れるならばその総乗は 0 である。あるいは数列の極限が 0 に収束するならば、やはりその総乗は 0 になる。このように、0 は乗法に関して特異であるので、無限数列の無限積が収束するとは、0 でない有限の値を持つことであるとする。

可算無限数列 (x_n)_n∈N が収束するならば、lim_n→∞ x_n = 1 が成り立つ。

逆に、x_n = 1 + u_n とおくとき、もし

$\sum_{n=1}^\infty |u_n|$

が収束するならば、無限積 ∏_n=1^∞ x_n も収束する。このとき、無限積は絶対収束しているという。

[編集] 例

$\sin z = z \prod_{n = 1}^{\infty} \left(1 - \cfrac{z^2}{n^2\pi^2}\right)$
$\zeta(s) = \prod_{p} {1 \over 1 - p^{-s}} \quad \mbox{where }p\mbox{ are the prime numbers}$