発散

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発散（はっさん）は、内部にあるものが外部へと向かうこと。

ベクトル解析において、湧き出していること。また、その量。詳しくは後述。
数学における、数列や点列の発散については極限を参照。

ベクトル解析における発散（はっさん、ダイバージェンス、divergence、湧出、湧出量とも。）とは、ベクトル場の各点における量の変化の傾向を記述するスカラー場のこと、あるいはそのスカラー場を与える微分作用素のことである。

例えば、三次元空間のベクトル場である流体や電磁場の発散は、場が物理的に外部にどれだけ流れ出ている、あるいは流れ込んでいるかをあらわす。空間内の各点において、発散の値が正ならば湧出している様子を、負ならば流入している様子を見てとることができる。

[編集] 定義

直交座標系において、ベクトル場 A = (A₁, A₂, ..., A_n) の、点 (p₁, p₂, ..., p_n) における発散、湧出量とはスカラー

${\partial A_1 \over \partial x_1}(p_1,\ldots,p_n) + {\partial A_2 \over \partial x_2}(p_1,\ldots,p_n) + \cdots + {\partial A_n \over \partial x_n}(p_1,\ldots,p_n)$

のことである。さらに p を動かして得られる次のスカラー場、

${\partial A_1 \over {\partial x_1} } + {\partial A_2 \over {\partial x_2} } + \cdots + {\partial A_n \over {\partial x_n} }$

を、ベクトル場 A のダイバージェンス、発散あるいは湧出（ゆうしゅつ、わきだし）といい、div A, ∇ · A などとあらわす（· はドット積を、∇ はナブラを参照）。すなわち、

$\mathrm{div\,} \mathbf{A} = \nabla \cdot \mathbf{A} = {\partial A_1 \over \partial x_1} + {\partial A_2 \over \partial x_2} + \cdots + {\partial A_n \over \partial x_n}.$