Triangolo di Tartaglia
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Il Triangolo di Tartaglia (anche detto triangolo di Pascal) è un metodo, o meglio una costruzione, per ottenere i coefficienti binomiali, ossia i coefficienti dello sviluppo del binomio (a+b) elevato ad una qualsiasi potenza n.
Indice |
[modifica] Costruzione
Le prime righe del Triangolo di Tartaglia sono le seguenti:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1
1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1
In ciascuna riga, si può osservare che gli elementi di questa costruzione si ottengono come somma di due elementi adiacenti della riga precedente. Ossia, se k e n sono interi positivi, e k è minore o uguale a n:
[modifica] La potenza del binomio
L'applicazione principale del triangolo di Tartaglia è nello sviluppo delle potenze di un binomio. Se ad esempio si vuole scrivere lo sviluppo di 
, è sufficiente andare alla quinta riga del triangolo di Tartaglia per trovare i coefficienti del polinomio risultante (cioè: 1, 4, 6, 4, 1). E dunque possiamo scrivere:
In generale, nella n+1-esima riga si trovano i coefficienti della potenza n-esima del binomio.
Per tale motivo, i numeri del triangolo di Tartaglia sono detti anche coefficienti binomiali, particolarmente studiati nell'ambito del calcolo combinatorio: si dimostra infatti che l'elemento di posizione k sulla riga n del triangolo di Tartaglia è il numero di combinazioni di n-1 elementi di classe k-1:
Dunque, la potenza del binomio può essere scritta anche con la formula seguente, che dobbiamo a Newton ed è comunemente indicata come formula di Newton:
.
[modifica] Formalismo matriciale
Con i classici indici del formalismo matriciale, il triangolo può essere costruito nel seguente modo. introdotti due indici i e j per denotare gli indici riga e colonna, possiamo scrivere:
riga 1: x11 = 1 ; x12 = 1 ;
riga 2: x21 = 1 ; x22 = 2 ; x23 = 1 ;
riga 3: x31 = 1 ; x32 = 3 ; x33 = 3; x34 = 1 ;
riga 4: x41 = 1 ; x42 = 4 ; x43 = 6 ; x44 = 4 ; x45 = 1 ;
In generale, xij è una funzione di Dirichlet, che vale xij = xi − 1,j − 1 + xi − 1,j con i = 1....n e j = 1....n, sempre (per ogni i e j), tranne per j = 1 oppure j = (i + 1), ossia agli estremi (destro e sinistro) di ogni riga del triangolo, dove vale xij = 1.
Infatti, vale che x21 = 1 , x31 = 1 ; x3,j = (i + 1) = 4 = 1 , x45 = 1, e che x42 = xi − 1 = 4 − 1 = 3,j − 1 = 2 − 1 + x3,2 = 1 + 3 = 4.
Tale formulazione è del tutto equivalente a quella precedente e più "classica" del coefficiente binomiale. Vengono solamente cambiati gli indici, riconducendosi al formalismo matriciale.
[modifica] Proprietà
Il triangolo ha molte altre numerose proprietà, alcune dipendenti dal metodo di costruzione, altre dalle proprietà dei coefficienti binomiali (le due cose sono legate tra loro).
[modifica] Condizione al contorno
Essendo 
tutti i numeri lungo il contorno sono uguali a uno.
[modifica] Formula ricorrente
È nota la proprietà dei binomiali per cui 
, questo porta ad una formula ricorrente per calcolare un numero del triangolo: se voglio conoscere il numero alla riga n e al posto k, basta sommare i due numeri della fila precedente allo stesso posto e al posto precedente, cioè otteniamo proprio la formula di costruzione.
[modifica] Simmetria del triangolo
Il triangolo è simmentrico rispetto all'altezza, cioè Cn,k = Cn,n − k, questo poiché 
.
[modifica] Somma delle righe
Si può notare che:
1 = 1
1 + 1 = 2
1 + 2 + 1 = 4
1 + 3 + 3 + 1 = 8
1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16
Cioè la somma della n-esima riga è 2n, si può dimostrare molto facilmente osservando che la somma della prima riga è ovviamente 1, e data una riga, ogni numero della riga successiva si ottiene sommando i due numeri superiori e che ogni numero superiore viene utilizzato due volte, quindi , indicando con Sn la somma della riga n Sn = Sn − 1 * 2.
Altra dimostrazione ancora più semplice consiste nel ricordare che ogni riga contiene i coefficienti dello sviluppo delle potenze di un binomio, volendo prendere il binomio 1 + 1, il suo sviluppo consiste nei semplici coefficienti, quindi, per esempio (1 + 1)3 = 1 + 3 + 3 + 1 = 8, ed in generale (1 + 1)n = 2n.
[modifica] Differenza nelle righe
Si può notare che:
1 - 1 = 0
1 - 2 + 1 = 0
1 - 3 + 3 - 1 = 0
1 - 4 + 6 - 4 + 1 = 0
La somma dei numeri in posto dispari (1°, 3°, 5°,...) meno la somma dei numeri al posto pari (2°, 4°, 6°,...) da zero. Per le righe con un numero pari di elementi, questo è ovvio in quanto il triangolo è simmetrico (vedi sopra.
Per una dimostrazione generale ci affidiamo alla tecnica precedente prendendo come binomio (1-1), in questo modo otteniamo proprio la somma che cerchiamo, che non può che fare 0. Un esempio: (1 − 1)3 = 1 − 3 + 3 − 1 = 0.
[modifica] Potenze di undici
Le cifre che compongono le potenze di 11 si possono leggere immediatamente sul triangolo di Tartaglia:
1 = 1
1 1 = 11
1 2 1 = 121
1 3 3 1 = 1331
1 4 6 4 1 = 14641
Il metodo per la dimostrazione è sempre quello, prendendo il binomio 10+1; per esempio alla 4° riga si ottiene (10 + 1)4 = 1 * 104 * 10 + 4 * 103 * 11 + 6 * 102 * 12 + 4 * 101 * 13 + 1100 * 14 = 1 * 10000 + 4 * 1000 + 6 * 100 + 4 * 10 + 1 = 14641.
[modifica] Somma delle diagonali
Prendiamo una porzione del triangolo:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
Sommando i numeri su una diagonale (1+3+6+10) otteniamo il numero adiacente al prossimo sulla diagonale (20).
[modifica] Multipli di numero fissato
Dato un numero n fissato, i numeri del triangolo che siano suoi multipli interi, formano dei nuovi triangoli con il vertice in basso, oppure dei punti isolati, che sono ovviamente anch'essi dei triangoli di lato unitario. Tali triangoli non si intersecano, né sono adiacenti.
Pari: 1
1 1
1 \2/ 1
1 3 3 1
1 \4 6 4/ 1
1 5 \10 10/ 5 1
1 \6/ 15 \20/ 15 \6/ 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 \8 28 56 70 56 28 8/ 1
1 9 \36 84 126 126 84 36/ 9 1
1 \10/ 45 \120 210 252 210 120/ 45 \10/ 1
1 11 55 165 \330 462 462 330/ 165 55 11 1
1 \12 66 220/ 495 \792 924 792/ 495 \220 66 12/ 1
1 13 \78 286/ 715 1287 \1716 1716/ 1287 715 \286 78/ 13 1
[modifica] Altre serie numeriche
Nel triangolo di Tartaglia, oltre ai coefficienti binomiali appaiono anche altre serie numeriche:
[modifica] Numero di Catalan
I Numeri di Catalan si possono trovare in verticale partendo dal vertice e scendendo, quindi sono 1, 2, 6, 20, 70, ...
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1
[modifica] Numeri di Fibonacci
I Numeri di Fibonacci possono essere trovati sommando le diagonali "storte", ottenute spostandosi ogni volta di una riga sotto e due numeri a sinistra. Esempio: 1 + 6 + 5 + 1 = 13 = F7 oppure 1 + 15 + 35 + 28 + 9 + 1 = 89 = F11
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
[modifica] Numero poligonale
Ogni diversa diagonale del triangolo, rappresenta una successione di numeri poligonali diversi, per esempio la 3° diagonale è composta dai numeri numeri triangolari: 1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,... . La 4° diagonale è composta dai numeri quadrati e così via. Come caso limite la seconda diagonale presenta i numeri interi e la prima una successione di 1.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1
1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1
[modifica] Non estendibilità alla radice n-esima
Il principio di induzione è un'assioma non dimostrabile della matematica valido per n numero naturale. Un'estensione del principio ai numeri razionali o reali non è nemmeno dimostrabile, sebbene esistono proprietà di numeri interi e razionali valide per ogni valore di n razionale o reale.
Ciò, viene verificato per ogni proprietà con dimostrazioni che non utilizzano tale principio, che dunque non suggerisce la possibilità di estendere la costruzione del triangolo di Tartaglia anche per il calcolo di potenze razionali del binomio.
Inoltre, la produttoria, la funzione fattoriale che da essa è definita, il coefficiente binomiale che a sua volta si calcola con la funzione fattoriale, hanno un'insieme di definizione più ristretto, limitato ad n numero naturale. Ciò impedisce di estendere il triangolo di Tartaglia ad esponenti frazionari e di avere una formula esatta per il calcolo delle radici di ordine n-esimo.
D'altra parte, anche individuati i coefficienti col Triangolo di Tartaglia, resterebbero da definire le potenze (decrescenti in a e crescenti in b) da attribuire nei diversi termini.
[modifica] Nota storica
La costruzione del triangolo di Tartaglia era nota a matematici cinesi nel XIV secolo e forse anche in epoca anteriore. In Italia prese il nome da Niccolò Tartaglia, che lo descrisse in un suo diffuso trattato nella prima metà del XVI secolo, ma in Francia e successivamente anche nel mondo anglosassone prende il nome da Blaise Pascal, che un secolo dopo, nel 1654, ne fece grande uso nei suoi studi sulla probabilità. In Germania invece è comunemente attribuito a Stiefel che ne scrisse nel 1544.
Nel triangolo è presente "1" al primo livello, due volte "1" al secondo e poi gli altri numeri. Ciò rappresenta nei numeri il passaggio dall'Uno alla Diade, tipicamente platonico. La Diade del secondo livello deriva da uno sdoppiamento dell'Uno. Tartaglia ebbe contatti con Cardano, autore del "De subtilitate" (1547) e il "De rerum varietate" (1557) che contengono una riflessione sulla natura tipicamente rinascimentale, ispirata dal neoplatonismo.
