Statistica di Bose-Einstein

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In meccanica statistica, la statistica di Bose-Einstein (indicata anche come statistica B-E ) determina la distribuzione statistica relativa agli stati energetici, all’equilibrio termico, dei bosoni, nell’ipotesi che siano identici e indistinguibili tra loro.

La statistica di Fermi-Dirac e quella di Bose-Einstein vengono applicate quando si devono considerare gli effetti quantistici e le particelle sono considerate indistinguibili. Gli effetti quantistici si manifestano quando la concentrazione di particelle ( N/V ) è maggiore della concentrazione quantistica n_q .

La concentrazione quantistica si ha quando la distanza tra le particelle si avvicina alla loro lunghezza d’onda di de Broglie, cioè quando le funzioni d’onda associate alle particelle si incontrano in zone nelle quali hanno valori non trascurabili, ma non si sovrappongono. Poiché la concentrazione quantistica dipende dalla temperatura, le alte temperature fanno in modo che la maggior parte dei sistemi si collochi entro i limiti classici, a meno che essi abbiano una densità molto alta, come ad esempio in una stella nana bianca.

La statistica di Fermi-Dirac si applica ai fermioni, particelle che rispettano il principio di esclusione di Pauli; quella di Bose-Einstein si applica ai bosoni. Entrambe si confondono con la statistica di Maxwell-Boltzmann nel caso in cui siano coinvolte alte temperature o basse concentrazioni.

La statistica di Maxwell-Boltzmann è spesso descritta come la statistica delle particelle classiche e distinguibili. Per capire quest’ultimo concetto pensiamo di considerare la particella A nella posizione 1 e la particella B nella posizione 2. Se le particelle sono distinguibili questa configurazione è diversa da quella in cui, ciascuna particella occupa la posizione dell’altra (A in 2 e B in 1). Quando questa idea venne compresa a fondo, contribuì a determinare la giusta distribuzione delle particelle negli stati energetici (distribuzione di Boltzmann), ma condusse anche a risultati non fisicamente accettabili per quanto riguarda l’entropia, come mostrato nel paradosso di Gibbs.

Questi problemi sparirono quando si comprese che tutte le particelle sono tra loro indistinguibili. Ribadiamo che entrambe queste distribuzioni di probabilità approssimano la distribuzione di Maxwell-Boltzmann nel limite di alte temperature e basse densità, senza il bisogno di nessuna ulteriore assunzione. La statistica di Maxwell-Boltzmann è particolarmente utile nello studio dei gas, mentre quella di Fermi-Dirac è utilizzata più spesso nello studio degli elettroni nei solidi. Per questi motivi esse costituiscono la base della teoria dei semiconduttori e dell’elettronica.

I bosoni, contrariamente ai fermioni, non seguono il principio di esclusione di Pauli: infatti un numero illimitato di particelle potrebbe occupare lo stesso stato energetico (livello di energia), allo stesso tempo. Questo spiega perché a basse temperature i bosoni possono diventare molto diversi dai fermioni; infatti essi tendono ad ammassarsi nello stesso livello di bassa energia, formando ciò che è noto come condensato di Bose-Einstein. La statistica di Bose-Einstein è stata introdotta nel 1920 da Satyendra Nath Bose per i fotoni ed è stata estesa agli atomi da Albert Einstein nel 1924. Il numero di particelle, occupanti l’i-imo livello di energia, previsto dalla statistica di Bose-Einstein è:

$n_i = \frac {g_i} {e^{(\epsilon_i-\mu)/kT} - 1}$

con $ε i > μ$ e dove:

n_i è il numero di particelle nello stato i,

g_i esprime la degenerazione dello stato i,

ε_i è l'energia dell'i-imo stato,

μ è il potenziale chimico,

k è la costante di Boltzmann,

T è la temperatura assoluta.

Ciò si riduce alla statistica di Maxwell-Boltzmann per energie ( ε_i-μ ) >> kT.

[modifica] Una derivazione della distribuzione di Bose-Einstein

Supponiamo di avere un dato numero di livelli di energia, contraddistinti dall’indice i, ciascuno avente energia ε_i e contenente un totale di n_i particelle. Supponiamo inoltre che ciascun livello contenga g_i sottolivelli distinti, ma tutti con la stessa energia e indistinguibili tra loro. Ad esempio, due particelle potrebbero avere momenti diversi e d i conseguenza essere distinguibili, ma potrebbero avere la stessa energia. Il valore g_i all’i-imo livello è chiamato degenerazione di quel livello di energia. Un qualsiasi numero di bosoni può occupare lo stesso sottolivello.

Sia w(n,g) il numero di modi di distribuire n particelle tra i g sottolivelli di un certo livello energetico. Esiste solo un modo di distribuire le n particelle in un solo sottolivello, per cui w(n,1) = 1. E’ semplice capire che esistono invece, n + 1 modi di distribuire n particelle in due sottolivelli, quindi scriveremo:

$w(n,2)=\frac{(n+1)!}{n!1!}$ .

Con un semplice ragionamento si può stabilire che il numero di modi di distribuire n particelle in tre sottolivelli è w(n,3) = w(n,2) + w(n−1,2) + ... + w(0,2), da cui:

$w(n,3)=\sum_{k=0}^n w(n-k,2) = \sum_{k=0}^n\frac{(n-k+1)!}{(n-k)!1!}=\frac{(n+2)!}{n!2!}$

Qui abbiamo utilizzato la seguente proprietà riguardante i coefficienti binomiali:

$\sum_{k=0}^n\frac{(k+a)!}{k!a!} = \frac{(n+a+1)!}{n!(a+1)!}.$

Iterando questo procedimento, si può mostrare che w(n,g) è dato da:

$w(n,g)=\frac{(n+g-1)!}{n!(g-1)!}.$

Generalizzando, il numero di modi di distribuire $n i$ particelle in $g i$ sottolivelli, al variare di $i$ , è il prodotto dei modi in cui ogni livello di energia può essere occupato:

$W = \prod_i w(n_i,g_i) = \prod_i \frac{(n_i+g_i-1)!}{n_i!(g_i-1)!} \approx \prod_i \frac{(n_i+g_i)!}{n_i!(g_i)!}$

Nella precedente approssimazione si assume che $g i > > 1$ . Seguendo la stessa procedura utilizzata per ottenere la statistica di Maxwell-Boltzmann, si dovrebbe determinare un insieme di n_i che massimizza la funzione $W$ , sotto il vincolo che il sistema sia costituito da un numero fissato di particelle e possieda un’energia fissata. I massimi delle funzioni $W$ e $ln(W)$ si hanno in corrispondenza del valore $N i$ . In realtà si massimizza la funzione scritta qui di seguito, perché questa richiesta equivalente è matematicamente più semplice da esplicitare. Utilizzando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, si costruisce la funzione:

$f(n_i)=\ln(W)+\alpha(N-\sum n_i)+\beta(E-\sum n_i \epsilon_i)$

Tenendo conto dell’approssimazione $g i > > 1$ , dell’approssimazione di Stirling per i fattoriali, $\left(\ln(x!)\approx x\ln(x)-x\right)$ , derivando rispetto ad $n i$ , uguagliando a zero e risolvendo rispetto a _i, si ottiene:

$n_i = \frac{g_i}{e^{\alpha+\beta \epsilon_i}-1}$ .

Si può mostrare che, per considerazioni di termodinamica, β = 1/kT , dove k è la costante di Boltzmann e T è la temperatura assoluta del sistema; mentre α = -μ/kT dove μ è il potenziale chimico. In conclusione si ottiene:

$n_i = \frac{g_i}{e^{(\epsilon_i-\mu)/kT}-1}$

Facciamo notare che talvolta questa formula si scrive anche come:

$n_i = \frac{g_i}{e^{\epsilon_i/kT}/z-1}$

dove $z = e x p (μ / k T)$ è l'attività assoluta.

[modifica] Cenno storico

All’inizio del 1920 Satyendra Nath Bose si interessò alla teoria dei fotoni di Einstein, secondo la quale le onde elettromagnetiche sarebbero costituite da particelle chiamate fotoni. Bose voleva derivare da considerazioni statistiche la formula della radiazione del corpo nero di Planck, ottenuta dallo stesso Planck mediante una congettura su basi empiriche. Infatti, nel 1900 Max Planck aveva ottenuta la sua formula con una sorta di "manipolazione" delle espressioni per adeguarle ai dati sperimentali. Vent’anni più tardi Bose, utilizzando le particelle immaginate da Einstein per spiegare l'effetto fotoelettrico, fu in grado di derivare la formula della radiazione, sviluppando sistematicamente una statistica per particelle più massive senza la costrizione della conservazione del numero di particelle. Bose derivò la Legge di Planck relativa alla Radiazione proponendo diversi stati per i fotoni. Invece dell’indipendenza statistica delle particelle, Bose considerò le particelle come fossero all’interno di cellette e descrisse l’indipendenza statistica dello spazio delle fasi di tali cellette. Tali sistemi ammettono due stati di polarizzazione, e ad essi è associata una funzione d’onda totalmente simmetrica.

Bose aveva ottenuto un risultato di rilievo individuando una legge statistica in grado di spiegare il comportamento dei fotoni. Tuttavia egli all'inizio non poté pubblicare il suo lavoro, perché nessuna rivista europea voleva accettare il suo articolo per incapacità di comprenderlo. Bose spedì allora i suoi scritti ad Einstein, il quale comprese la loro importanza ed utilizzò la sua influenza per ottenerne la pubblicazione.