Metodo degli elementi finiti

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Simulazione tramite analisi agli elementi finiti dell'impatto di un veicolo contro una barriera asimmetrica

In analisi numerica il metodo degli elementi finiti è usato per risolvere in maniera approssimata problemi descritti da equazioni differenziali alle derivate parziali riducendo queste ultime ad un sistema di equazioni algebriche. La caratteristica principale del metodo degli elementi finiti è la discretizzazione del dominio continuo di partenza in un dominio discreto (mesh) mediante l'uso di primitive (elementi finiti) di semplice forma (triangoli e quadrilateri per domini 2D, esaedri e tetraedri per domini 3D). Su ciascun elemento caratterizzato da questa forma elementare, la soluzione del problema è assunta essere espressa dalla combinazione lineare di funzioni dette funzioni di base o funzioni di forma (shape functions). L'esempio tipico è quello che fa riferimento a funzioni polinomiali, sicché la soluzione complessiva del problema viene approssimata con una funzione polinomiale a pezzi. Il numero di coefficienti che identifica la soluzione su ogni elemento è dunque legato al grado del polinomio scelto. Questo, a sua volta, governa l'accuratezza della soluzione numerica trovata.

Esempio di una meshatura di una valvola

Il metodo degli elementi finiti fa parte della classe del Metodo di Galerkin, il cui punto di partenza è la coiddetta formulazione debole di un problema differenziale. Questa formulazione, basata sul concetto di derivata in senso distribuzionale, di integrazione nel senso di Lebesgue e di media pesata (mediante opportune funzioni dette funzioni test), ha il grande pregio di richiedere alla soluzione caratteristiche di regolarità realistiche per (quasi) tutti i problemi ingegneristici ed è pertanto strumento descrittivo molto utile. I metodi di tipo Galerkin si basano sull'idea di approssimare la soluzione del problema scritto in forma debole mediante combinazione lineare di funzioni (le shape functions) elementari. I coefficienti di tale combinazione lineare (detti anche gradi di libertà) diventano le incognite del problema algebrico ottenuto dalla discretizzazione. Gli elementi finiti di distinguono per la scelta di funzioni di base polinomiali a pezzi. Altri metodi di tipo Galerkin come i metodi spettrali usano funzioni di base diverse.

[modifica] Note storiche

Conosciuto sin dagli anni '50, il metodo degli elementi finiti ha trovato diffusione solo molto più tardi. Oggi, grazie alla disponibilità di calcolatori ad alte prestazioni, è diventato uno dei metodi di calcolo più usati in tutte le branche dell'ingegneria, dall'analisi strutturale, in inglese en:Stress analysis, secondo la dizione inglese) sino alla fluidodinamica computazionale (CFD).

L'acronimo FEM deriva dall'inglese en:finite element method, mentre con FEA, dall'inglese en:Finite element analysis, ci si riferisce propriamente all'analisi agli elementi finiti.

[modifica] Esempio monodimensionale

Un problema tipico (detto anche problema dell'Equazione di Poisson) può essere trovare la funzione u, il cui laplaciano è uguale ad una funzione $f$ data. L'Equazione di Poisson in uno spazio monodimensionale si scrive come segue

$-u''(x)=f(x) \,$

con vari tipi di condizioni al bordo, fra cui ad esempio:

$u(0)=u(1)=0 \,$

$u(0)=0 \qquad u'(1)=q$

$u'(0)=u'(1)=0 \,$

$u'(0)+u(0)=0 \qquad u'(1)+u(1)=0\,$

Le condizioni al contorno in generale si possono dividere in tre gruppi:

Condizioni di Dirichlet: Condizione imposta sulla funzione (ordine 0).

Condizioni di Neumann: Condizione imposta sulla derivata prima della funzione rispetto alla normale uscente al contorno (ordine 1).

Condizioni di Robin: Condizione imposta sulla combinazione lineare del valore della funzione e della sua derivata (condizione mista).

Se ad esempio facciamo riferimento alle condizioni di Dirichlet

$u(0)=u(1)=0 \,$

la forma variazionale del problema diventa: trovare u appartenente a un opportuno spazio funzionale di funzioni che si annullano al bordo tale che per ogni funzione v nello stesso spazio funzionale si abbia:

$\int\limits_0^1 u^\prime v^\prime dx= \int\limits_0^1 f v dx.$

L'approssimazione del metodo agli elementi si ottiene introducendo una suddivisione dell'intervallo (0,1) in sotto-intervalli su ciascuno dei quali la soluzione verrà assunta essere polinomiale. Questo permette di scrivere la soluzione approssimata, indicata come $u h$ mediante combinazione lineare delle funzioni di base dello spazio delle funzioni polinomiali a pezzi, indicate come $\varphi_i$ :

$u_h = \sum\limits_{j=1}^n U_j \varphi_j.$

I coefficienti $U j$ sono le incognite del problema discretizzato.

Usando come funzioni test proprio le funzioni di base, si ottiene infatti un insieme di n equazioni:

$\sum\limits_{j=1}^n U_j \int\limits_0^1 \varphi_j^\prime \varphi_i^\prime dx= \int\limits_0^1 f \varphi_i dx, \qquad i=1,\ldots,n.$

Indicando con A la matrice:

$A=[a_{ij}]=\int\limits_0^1 \varphi_j^\prime \varphi_i^\prime dx,$

con U il vettore di elementi $U j$ e con F il vettore di elementi:

$F_i = \int\limits_0^1 f \varphi_i dx$

il problema algebrico da risolvere è dato semplicemente dal sistema lineare:

$A \mathbf{U} = \mathbf{F}.$

La matrice A è detta matrice di rigidezza, vedi anche en:Matrix stiffness method.

[modifica] Il metodo di Galerkin

Il metodo di Galerkin, vedi anche en: Galerkin method, consiste nell'uso delle stesse funzioni di forma utilizzate nell'approssimazione all'interno dei dei sotto-intervalli di cui sopra, come funzioni peso nel calcolo del residuo ai minimi quadrati applicato alla formulazione debole del problema strutturale.