Logica fuzzy

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La fuzzy logic o logica sfumata o logica sfocata è una logica polivalente e pertanto un'estensione della logica booleana in cui si può attribuire a ciascuna proposizione un grado di verità compreso tra 0 e 1. È fortemente legata alla teoria degli insiemi sfocati e, già intuita da Cartesio, Bertrand Russell, Albert Einstein, Werner Heisenberg, Jan Lukasiewicz e Max Black, venne concretizzata da Lotfi Zadeh.

Quando parliamo di grado di verità o valore di appartenenza, per dirla con un'esemplificazione, intendiamo che una proprietà può essere oltre che vera (= a valore 1) o falsa (= a valore 0) come nella logica classica, anche di valori intermedi. In logica fuzzy si può ad esempio dire che un bambino appena nato è giovane di valore 1, un diciottenne è giovane 0,8, ed un sessantacinquenne è giovane di valore 0,15. Solitamente il valore di appartenza si indica con μ; per il valore di appartenenza ad un insieme fuzzy F di un predicato p, si indicherà con $μ F (p)$

La funzione di appartenenza non ha nulla a che vedere con la teoria della probabilità, come spiegato nel paragrafo apposito.

[modifica] Storia

Nei primi anni sessanta, Lotfi A. Zadeh, professore all'Università della California di Berkeley, molto noto per i suoi contributi alla teoria dei sistemi, cominciò ad avvertire che le tecniche tradizionali di analisi dei sistemi erano eccessivamente ed inutilmente accurate per molti dei problemi tipici del mondo reale. L'idea di grado d'appartenenza, il concetto divenuto poi la spina dorsale della teoria degli insiemi sfumati, fu da lui introdotta nel 1964, e ciò portò in seguito, nel 1965, alla pubblicazione di un primo articolo, ed alla nascita della logica sfumata. Il concetto di insieme sfumato, e di logica sfumata, attirò le aspre critiche della comunità accademica; nonostante ciò, studiosi e scienziati di tutto il mondo – dei campi più diversi, dalla psicologia alla sociologia, dalla filosofia all'economia, dalle scienze naturali all'ingegneria – divennero seguaci di Zadeh.

In Giappone la ricerca sulla logica sfumata cominciò con due piccoli gruppi universitari fondati sul finire degli anni '70: il primo era guidato, a Tokio, da T. Terano e H. Shibata, mentre l'altro si stabilì a Kanasai sotto la guida di K. Tanaka e K. Asai. Al pari dei ricercatori americani, questi studiosi si scontrarono, nei primi tempi, con un'atmosfera fortemente avversa alla logica fuzzy. E tuttavia, la loro tenacia e il duro lavoro si sarebbero dimostrati estremamente fruttuosi già dopo un decennio: i ricercatori giapponesi, i loro studenti, e gli studenti di questi ultimi produssero molti importanti contributi sia alla teoria che alle applicazioni della logica fuzzy.

Nel 1974, Seto Assilian ed Ebrahim H. Mamdani svilupparono, in Gran Bretagna, il primo sistema di controllo di un generatore di vapore, basato sulla logica fuzzy. Nel 1976, la Blue Circle Cement e il SIRA idearono la prima applicazione industriale della logica fuzzy, per il controllo di una fornace per la produzione di cemento. Il sistema divenne operativo nel 1982.

Nel corso degli anni ottanta, diverse importanti applicazioni industriali della logica fuzzy furono lanciate con pieno successo in Giappone. Dopo otto anni di costante ricerca, sviluppo e sforzi di messa a punto, nel 1987 S. Yasunobu ed i suoi colleghi della Hitachi realizzarono un sistema automatizzato per il controllo operativo dei treni metropolitani della città di Sendai. Un'altra delle prime applicazioni di successo della logica fuzzy è un sistema per il trattamento delle acque di scarico sviluppato dalla Fuji Electric. Queste ed altre applicazioni motivarono molti ingegneri giapponesi ad approfondire un ampio spettro di applicazioni inedite: ciò ha poi condotto ad un vero boom della logica fuzzy.

Una tale esplosione era peraltro il risultato di una stretta collaborazione, e del trasferimento tecnologico, tra Università ed Industria. Due progetti di ricerca nazionali su larga scala furono decisi da agenzie governative giapponesi nel 1987, il più noto dei quali sarebbe stato il Laboratory for International Fuzzy Engineering Research (LIFE). Alla fine di gennaio del 1990, la Matsushita Electric Industrial Co. diede il nome di "Asai-go ("moglie adorata") Day Fuzzy" alla sua nuova lavatrice a controllo automatico, e lanciò una campagna pubblicitaria in grande stile per il prodotto "fuzzy". Tale campagna si è rivelata essere un successo commerciale non solo per il prodotto, ma anche per la tecnologia stessa. Il termine d'origine estera "fuzzy" fu introdotto nella lingua giapponese con un nuovo e diverso significato – intelligente. Molte altre aziende elettroniche seguirono le orme della Panasonic e lanciarono sul mercato, tra l'altro, aspirapolvere, fornelletti per la cottura del riso, frigoriferi, videocamere (per stabilizzare l'inquadratura sottoposta ai bruschi movimenti della mano), e macchine fotografiche (con un autofocus più efficace). Ciò ebbe come risultato l'esplodere di una vera mania per tutto quanto era etichettato come fuzzy: tutti i consumatori giapponesi impararono a conoscere la parola "fuzzy", che vinse il premio per il neologismo dell'anno nel 1990. I successi giapponesi stimolarono un vasto e serio interesse per questa tecnologia in Corea, in Europa e, in misura minore, negli Stati Uniti, dove pure la logica fuzzy aveva visto la luce.

La logica fuzzy ha trovato parimenti applicazione in campo finanziario. Il primo sistema per le compravendite azionarie ad usare la logica sfumata è stato lo Yamaichi Fuzzy Fund. Esso viene usato in 65 aziende e tratta la maggioranza dei titoli quotati dell'indice Nikkei Dow, e consiste approssimativamente in 800 regole. Tali regole sono determinate con cadenza mensile da un gruppo di esperti e, se necessario, modificate da analisti finanziari di provata esperienza. Il sistema è stato testato per un periodo di due anni, e le sue prestazioni in termini di rendimento hanno superato l'indice Nikkei Average di oltre il 20%. Durante il periodo di prova, il sistema consigliò "sell", ossia "vendere", ben 18 giorni prima del Lunedì Nero (19 ottobre 1987): nel corso di quel solo giorno l'indice Dow Jones Industrial Average diminuì del 23%. Il sistema è divenuto operativo nel 1988.

Il primo chip VLSI (Very Large Scale Integration) dedicato alla computazione d'inferenze fuzzy fu sviluppato da M. Togai e H. Watanabe nel 1986: chip di tal genere sono in grado di migliorare le prestazioni dei sistemi fuzzy per tutte le applicazioni in tempo reale. Diverse imprese (e.g., Togai Infralogic, APTRONIX, INFORM) sono state costituite allo scopo di commercializzare strumenti hardware e software per lo sviluppo di sistemi a logica sfumata. Allo stesso tempo, anche i produttori di software, nel campo della teoria convenzionale del controllo, cominciarono ad introdurre pacchetti supplementari di progettazione dei sistemi fuzzy. Il Fuzzy Logic Toolbox per MATLAB, ad esempio, è stato presentato quale componente integrativo nel 1994.

[modifica] Fuzzy logic: concetti fondamentali

Nel 1994 Zadeh scriveva: "Il termine logica fuzzy viene in realtà usato in due significati diversi. In senso stretto è un sistema logico, estensione della logica a valori multipli, che dovrebbe servire come logica del ragionamento approssimato. Ma in senso più ampio logica fuzzy è più o meno sinonimo di teoria degli insiemi fuzzy cioè una teoria di classi con contorni indistinti. Ciò che è importante riconoscere è che oggi il termine logica fuzzy è usato principalmente in questo significato più vasto".

La teoria degli insiemi fuzzy costituisce un'estensione della teoria classica degli insiemi poiché per essa non valgono i principi aristotelici di non-contraddizione e del terzo escluso (o del Tertium non datur). Si ricorda che, dati due insiemi A e !A (non-A), il principio di non-contraddizione stabilisce che ogni elemento appartenente all'insieme A non può contemporaneamente appartenere anche a non-A; secondo il principio del terzo escluso, d'altro canto, l'unione di un insieme A e del suo complemento non-A costituisce l'universo del discorso.

In altri termini, se un qualunque elemento non appartiene all'insieme A, esso necessariamente deve appartenere al suo complemento non-A.

Tali principi logici conferiscono un carattere di rigida bivalenza all'intera costruzione aristotelica, carattere che ritroviamo, sostanzialmente immutato ed indiscusso, sino alla prima metà del XX secolo, quando l'opera di alcuni precursori di Zadeh (in primis Max Black e Jan Lukasiewicz) permette di dissolvere la lunga serie di paradossi cui la bivalenza della logica classica aveva dato luogo e che essa non era in grado di chiarire.

Il più antico e forse celebre di tali paradossi è quello attribuito ad Eubulide di Mileto (IV secolo a.C.), noto anche come paradosso del mentitore, il quale, nella sua forma più semplice, recita:

"Il cretese Epimenide afferma che il cretese è bugiardo"

In tale forma, suggerita dalla logica proposizionale, ogni affermazione esprime una descrizione di tipo dicotomico. Al contrario, nella logica predicativa ogni proposizione esprime un insieme di descrizioni simili o di fatti atomici, come nella frase tutti i cretesi sono bugiardi. Si noti che, a rigor di logica (bivalente), una formulazione del paradosso contenente tale frase è falsa, in quanto è vera la sua negazione: la negazione di tutti non è nessuno, ma non tutti, quindi non tutti i cretesi sono bugiardi, Eubulide è un bugiardo, ed essendo vera la sua negazione, l'affermazione di Eubulide risulterebbe falsa.

Ad ogni modo, il paradosso del mentitore nella sua forma proposizionale appartiene alla classe dei paradossi di autoriferimento. Ogni membro di questa classe presenta una struttura del tipo:

"La frase seguente è vera
La frase precedente è falsa"

o in maniera più sintetica:

"Questa frase è falsa"

Orbene, la logica aristotelica si dimostra incapace di stabilire se queste proposizioni siano vere o false. Essa è strutturalmente incapace di dare una risposta proprio in quanto bivalente, cioè proprio perché ammette due soli valori di verità: vero o falso, bianco o nero, tutto o niente; ma giacché il paradosso contiene un riferimento a sè stesse, non può assumere un valore che ben definito (o vero o falso) senza autocontraddirsi: ciò implica che ogni tentativo di risolvere la questione posta si traduce in un'oscillazione senza fine tra due estremi opposti. Il vero implica il falso, e viceversa.

Secondo Bart Kosko, uno dei più brillanti allievi di Zadeh, infatti, se quanto afferma Epimenide è vero, allora il cretese mente: pertanto, poiché Epimenide è cretese, quindi mente, dobbiamo concludere che egli dice il vero. Viceversa, se l’affermazione di Epimenide è falsa, allora il cretese Epimenide non mente, e pertanto si deduce che egli mente. In termini simbolici, indicato con V l’enunciato del paradosso di Eubulide, e con v = 0/1 il suo valore di verità binario, si ha, analizzando separatamente i due casi possibili:

$V\,\,\, vera, \,\,\, v=1 \rarr !V\,\,\, falsa,\,\,\, !v = 0 \rarr v = 1-!v$
$V\,\,\, falsa, \,\,\, v=0 \rarr !V\,\,\, vera,\,\,\, !v = 1 \rarr v = 1-!v$

e tenendo presente che, come mostrato in precedenza, il valore di verità di V coincide con quello della sua negazione !V, vale a dire: v=!v, si perviene all’equazione logica che esprime tale contraddizione:

v = 1 - v

la cui soluzione è banalmente data da:

v = 1 / 2

Da ciò si deduce finalmente che l'enunciato del paradosso non è né vero né falso, ma è semplicemente una mezza verità o, in maniera equivalente, una mezza falsità. Le due possibili conclusioni del paradosso si presentano nella forma contraddittoria A e non-A, e questa sola contraddizione è sufficiente ad inficiare la logica bivalente. Ciò al contrario non pone alcun problema alla logica fuzzy, poiché, quando il cretese mente e non mente allo stesso tempo, lo fa solo al 50%. Quanto esposto conferma la sua validità in tutti i paradossi di autoriferimento.

È interessante notare come, ammettendo esplicitamente l'esistenza di una contraddizione, la condizione che la traduce venga poi impiegata per determinare l'unica soluzione contraddittoria tra le infinite possibili (sfumate, cioè a valori di verità frazionari) per la questione posta: ciò conferma l'insussistenza dei principi di non contraddizione e del terzo escluso.

Infatti, nella logica fuzzy l'esistenza di circostanze paradossali, vale a dire di situazioni in cui un certo enunciato è contemporaneamente vero e falso allo stesso grado , è evidenziata da ciascuno dei punti d'intersezione tra una generica funzione d'appartenenza e il suo complemento, avendo necessariamente tali punti ordinata pari a ½. Ciò in quanto il valore di verità della proposizione in questione coincide con il valore di verità della sua negazione.

Gli operatori logici AND, OR, e NOT della logica booleana sono definiti di solito, nell'ambito della fuzzy logic, come operatori di minimo, massimo e complemento; in questo caso, sono anche detti operatori di Zadeh, in quanto introdotti per la prima volta nei lavori originali dello stesso Zadeh. Pertanto, per le variabili fuzzy x e y si ha, ad esempio:

$\operatorname{NOT}\,x = (1 - v(x))$

$x\, \operatorname{AND}\, y = min(v(x), v(y))$

$x\, \operatorname{OR} \,y = max(v(x), v(y))$

Si è detto che la teoria degli insiemi sfumati generalizza la teoria convenzionale degli insiemi; pertanto, anche le sue basi assiomatiche sono inevitabilmente diverse. A causa del fatto che il principio del terzo escluso non costituisce un assioma della teoria degli insiemi fuzzy, non tutte le espressioni e le identità, logicamente equivalenti, dell’algebra booleana mantengono la loro validità anche nell’ambito della logica fuzzy.

Recentemente si sono sviluppati rigorosi studi della logica fuzzy "in senso stretto", studi che si inseriscono nell'antico filone delle logiche a più valori inaugurato da Jan Lukasiewicz (si veda ad esempio il libro di P. Hájek). Tuttavia la logica sfumata, oltre ad avere ereditato le motivazioni filosofiche che hanno dato origine alle logiche a più valori, si inquadra nel contesto più ampio delle metodologie che hanno consentito un marcato rinnovamento dell'intelligenza artificiale classica, dando vita al cosiddetto soft computing che ha tra i suoi costituenti principali le reti neurali artificiali e gli algoritmi genetici ed il controllo fuzzy.

[modifica] Fuzzy e probabilità

Per capire la differenza tra logica fuzzy e teoria della probabilità, facciamo questo esempio: un lotto di 100 bottiglie d'acqua ne contiene 5 di veleno. Diremo allora che la probabilità di prendere una bottiglia di acqua potabile è 0,95. Tuttavia una volta presa una bottiglia, o è potabile, o non lo è: le probabilità collassano a 0 od 1. Se invece prendiamo una bottiglia b contenente una miscela di acqua e veleno, al 95% di acqua, allora avremo $μ P O T A B I L E (b) = 0,95$ .

I valori fuzzy possono variare da 0 ad 1 (come le probabilità) ma, diversamente da queste, descrivono eventi che si verificano in una certa misura mentre non si applicano ad eventi casuali bivalenti (che si verificano oppure no, senza valori intermedi).

I rapporti tra logica sfumata e teoria della probabilità sono estremamente controversi e hanno dato luogo a polemiche aspre e spesso non costruttive tra i seguaci di ambedue gli orientamenti. Da una parte, infatti, i probabilisti, forti di una tradizione secolare e di una posizione consolidata, hanno tentato di difendere il monopolio storicamente detenuto in materia di casualità ed incertezza, asserendo che la logica sfumata è null'altro che una probabilità sotto mentite spoglie, sostenuti in tale convinzione dalla circostanza, da ritenersi puramente accidentale, che le misure di probabilità, al pari dei gradi d'appartenenza agli insiemi fuzzy, sono espresse da valori numerici inclusi nell'intervallo reale [0, 1].

Gli studiosi di parte fuzzy, al contrario, hanno mostrato che anche la teoria probabilistica, nelle sue varie formulazioni (basate, secondo i casi, sugli assiomi di Kolmogorov, su osservazioni concernenti la frequenza relativa d'accadimento di determinati eventi, oppure sulla concezione bayesiana soggettivista, secondo cui la probabilità è la traduzione, in forma numerica, di uno stato di conoscenza contingente), è in definitiva una teoria del caso ancora saldamente ancorata ad una Weltanschauung dicotomica e bivalente.

A questo proposito, Bart Kosko si è spinto fino a ridiscutere il concetto di probabilità così come emerso finora nel corso dell’evoluzione storica, sottolineando la mancanza di solidità di tutti i tentativi intesi a fondare la teoria della probabilità su basi diverse da quelle puramente assiomatiche, empiriche o soggettive, e ritenendola un puro stato mentale, una raffigurazione artificiosa destinata a compensare l’ignoranza delle cause reali di un evento: la probabilità sarebbe in realtà mero istinto di probabilità.

Al contrario, secondo la suggestiva e penetrante interpretazione dello stesso Kosko, la probabilità è l'intero nella parte, ossia la misura di quanto la parte contiene l'intero. La parte può, in effetti, contenere l'intero nella misura in cui la sua estensione può sovrapporsi a quella dell'insieme universale. Questa concezione comporta un'affermazione apparentemente singolare, quella per cui la parte può contenere l'intero, non soltanto nel caso banale in cui la parte coincide con l'intero; infatti, l'operatore di contenimento non è più bivalente, ma è esso stesso fuzzy e può pertanto assumere un qualunque valore reale compreso tra 0 (non contenimento) e 1 (contenimento completo o, al limite, coincidenza).

Su questa base, egli può finalmente concludere che la teoria degli insiemi sfumati contiene e comprende quella della probabilità come suo caso particolare; la realtà sarebbe pertanto deterministica, ma sfumata: la teoria del caos ne ha evidenziato la componente determinista, mentre la teoria fuzzy ha mostrato l'importanza del principio dell'homo mensura già espresso da Protagora.

[modifica] Bibliografia

[modifica] Testi divulgativi

Kosko, B., "Il Fuzzy-Pensiero", Baldini e Castoldi, 1993, ISBN 8884902797
Gerla G., Logica fuzzy e paradossi, Lettera Matematica Pristem, 32, 1999, 31-39.

[modifica] Testi in lingua inglese

Cignoli R., D’Ottaviano I. M. L. , Mundici D. , Algebraic Foundations of Many-Valued Reasoning’’. Kluwer, Dordrecht, 1999.
Hájek P., Metamathematics of fuzzy logic. Kluwer 1998.
Klir G. , UTE H. St.Clair and Bo Yuan Fuzzy Set Theory Foundations and Applications,1997.
Klir G. and Bo Yuan, Fuzzy Sets and Fuzzy Logic (1995) ISBN 0-13-101171-5
Gerla G., Fuzzy logic: Mathematical Tools for Approximate Reasoning, Kluwer, 2001.
Zimmermann H., Fuzzy Set Theory and its Applications (2001), ISBN 0-7923-7435-5.