Intero gaussiano
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Un intero gaussiano è un numero complesso le cui parti reale e immaginaria sono intere. Gli interi gaussiani, con le ordinarie operazioni di addizione e moltiplicazione di numeri complessi, formano un dominio di integrità, indicato solitamente con Z[i]. Esso è un dominio euclideo che non può essere convertito in un anello ordinato.
Formalmente, gli interi gaussiani costituiscono l'insieme
La norma di un intero gaussiano è il numero naturale definito come
- N(a + bi) = a2 + b2.
La norma è moltiplicativa, cioè
- N(z·w) = N(z)·N(w).
Le unità di Z[i] sono dunque tutti e soli gli elementi di norma 1, cioè
- 1, -1, i e -i.
Gli elementi primi di Z[i] prendono il nome di primi gaussiani. Alcuni numeri primi (cui spesso ci si riferisce come "primi razionali") non sono primi gaussiani; per esempio 2 = (1 + i)(1 − i) e 5 = (2 + i)(2 − i). I primi razionali che sono congrui a 3 (mod 4) sono primi gaussiani; quelli congrui ad 1 (mod 4) non lo sono. Infatti i numeri primi della forma 4k + 1 possono sempre essere scritti come somma di due quadrati (teorema di Fermat sulle somme di due quadrati), quindi abbiamo
- p = a2 + b2 = (a + bi)(a − bi).
Se la norma di un intero gaussiano z è un numero primo, allora z è un primo gaussiano, dal momento che ogni fattorizzazione non banale di z implicherebbe una fattorizzazione non banale della norma. Per esempio 2 + 3i è un primo gaussiano poiché la sua norma è 4 + 9 = 13. Poiché esistono infiniti numeri primi della forma 4k + 1, esistono necessariamente infiniti primi gaussiani.
L'anello degli interi gaussiani è la chiusura integrale di Z nel campo dei razionali gaussiani Q(i) formato dai numeri complessi le cui parti reale ed immaginaria sono entrambe numeri razionali.
[modifica] Voci correlate
[modifica] Collegamenti esterni
- http://www.alpertron.com.ar/GAUSSIAN.HTM è un'applet Java che calcola espressioni contenenti interi gaussiani e li fattorizza in primi gaussiani.
- http://www.alpertron.com.ar/GAUSSPR.HTM è un'applet Java che consente una visione grafica dei primi gaussiani.
