E=mc²

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E = mc² è un'equazione fisica che stabilisce una relazione tra l'energia (E) e la massa (m) di un sistema fisico.

Indice

1 Significato della formula
2 Implicazioni
3 Background e conseguenze
4 Applicabilità dell'equazione
- 4.1 Uso della massa relativistica
- 4.2 Uso della massa a riposo
5 Approssimazione per basse energie
6 Einstein e il suo articolo del 1905
7 Contributi di altri
8 Voci correlate
9 Collegamenti esterni

[modifica] Significato della formula

Questa formula suggerisce che quando un corpo è a riposo (cioè non si sta muovendo) ha ancora dell'energia sotto forma di massa, al contrario di quanto proposto dal sistema Newtoniano secondo il quale un corpo libero fermo non ha energia. Per questa ragione la quantità mc² è a volte chiamata energia a riposo del corpo. La E della formula può essere vista come l'energia totale del corpo, che è proporzionale alla sua massa solo se il corpo è a riposo.

Da un altro punto di vista, una nuvola di fotoni che viaggia all'interno di uno spazio vuoto, con ogni fotone privo di massa a riposo, ha comunque una massa propria, dovuta alla sua energia cinetica.

[modifica] Implicazioni

Nel contesto della teoria della Relatività ristretta, la forte implicazione è che energia e massa sono equivalenti e che, al giorno d'oggi, la massa è considerata una forma di energia. In termini pratici invece, condusse alla bomba atomica e ad altre applicazioni. È una delle equazioni più popolari e meglio conosciute di tutti i tempi. Anche quelli che non ne conoscono esplicitamente il significato hanno un'idea di ciò che vuol dire, per cultura generale.

[modifica] Background e conseguenze

L'equazione risulta dalla ricerca di Albert Einstein riguardo ad una dipendenza dell'inerzia di un corpo con il suo contenuto energetico. Il famoso risultato di questa ricerca è che la massa di un corpo permette effettivamente una misurazione del suo contenuto di energia. Per comprendere l'importanza di questa relazione si può comparare la forza elettromagnetica con la forza gravitazionale. Nel caso dell'elettromagnetismo, l'energia è contenuta in un campo (elettrico e magnetico) associato con la forza e non contenuto nelle cariche. Nel caso gravitazionale invece l'energia è contenuta nella materia stessa. Non è una coincidenza che la massa pieghi lo spaziotempo, al contrario delle cariche delle altre tre forze fondamentali.

$\mathrm{Energia} = \mathrm{Massa}\, \times\, (\mathrm{velocit\grave{a} \; della \; luce \; nel \; vuoto})^2 \,\!$

L'equazione illustra come l'energia massima ottenibile da un oggetto è equivalente alla massa dell'oggetto moltiplicata per il quadrato della velocità della luce.

Questa formula fu cruciale nello sviluppo della bomba atomica. Misurando la massa di diversi nuclei atomici e ricavando da esso la massa dei singoli protoni e neutroni, si può ottenere una stima dell'energia di legame disponibile all'interno di un nucleo atomico. Questo fatto non mostra solo che è possibile rilasciare quest'energia di legame attraverso la fusione di nuclei leggeri o fissione di nuclei pesanti, ma anche che si può stimare la quantità di energia di legame che può essere rilasciata. È importante notare che i protoni e i neutroni non vengono consumati nel procedimento e che anche essi rappresentano una certa quantità di energia.

Una curiosità: originariamente Einstein scrisse l'equazione nella forma $\Delta m = \frac{L}{c^2} \,\!$ (con una $L \,\!$ invece di una $E \,\!$ a rappresentare l'energia, mentre la $E \,\!$ era usata altrove nella dimostrazione sempre per rappresentare l'energia).

Un chilogrammo massa si converte completamente in

89.875.517.873.681.764 joule o
24.965.421.632 kilowattora o
21,48076431 megatoni
approssimativamente 0,0851900643 Quads (Unità termiche britanniche)

Da notare che la conversione pratica della massa in energia è solo di rado efficiente al 100%. Una conversione teoricamente perfetta risulterebbe dalla collisione di materia e antimateria; in molti casi reali si formano dei sottoprodotti al posto di energia, e perciò solo una piccola parte di massa viene effettivamente convertità. Nell'equazione la massa è energia, ma per chiarezza è più corretto parlare di conversione.

[modifica] Applicabilità dell'equazione

E=mc² si applica a tutti gli oggetti con massa, dando per assunto che la massa sia una derivazione dell'energia o viceversa, e che sia possibile convertire dall'una all'altra. La sua applicabilità agli oggetti in movimento dipende dalla definizione di massa usata nell'equazione.

Di solito questa formula si applica ad un oggetto che non si muove secondo ciò che è possibile osservare da un dato punto di riferimento. Ma lo stesso oggetto potrebbe essere in moto secondo un osservatore solidale ad un altro punto di riferimento. In questo caso, per quest'ultimo osservatore, l'equazione non è applicabile.

Vale la pena di notare che, nella fisica moderna, la massa è assoluta e l'energia è relativa. Perciò, tecnicamente, la massa non è energia, e l'energia non è massa. La formula in questione rappresenta la conversione possibile tra massa ed energia.

[modifica] Uso della massa relativistica

Gli articoli originali di Einstein (ad esempio [1]) trattavano "m" come quella che oggi chiamiamo massa relativistica. Questa si relaziona alla massa a riposo m₀ (cioè la massa dell'oggetto nel sistema di riferimento in cui è in quiete) nel modo seguente:

$m = \gamma m_0 = \frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$

Ma per ottenere l'equazione $E = m c 2$ , dobbiamo cominciare dall'equazione $E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4$ e porre $p = 0$ , cioè porre $v = 0$ . Ciò significa che abbiamo un caso particolare in cui l'oggetto non si sta muovendo, ed in cui $E 2$ è uguale solo a $m 2 c 4$ , o $E = m c 2$ . Questa formula è vera solo nel caso particolare illustrato (da cui il nome di relatività ristretta). A qualsiasi altra velocità dobbiamo aggiungere il termine $p 2 c 2$ dell'equazione originaria.

Se ora poniamo $v = 0$ nell'equazione $m = \gamma m_0 = \frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$ otteniamo $m = m 0$ . Così in riposo, cioè a velocità nulla, la massa a riposo e la massa relativistica sono la stessa quantità, e l'equazione E = mc² può essere riscritta come E = $m 0 c 2$ : non c'è differenza, eccetto forse che dovremmo specificare che $m 0$ è vero per v = 0.

Allora, usando la massa relativistica, l'equazione $E = m c 2$ nel titolo dev'essere riscritta come $E = m 0 c 2$ e non si applica ad oggetti in moto a qualsiasi velocità diversa da 0, perché la $m 0$ qui è valida solo per $v = 0$ , e per $v = 0$ , $m = m 0$ .

[modifica] Uso della massa a riposo

La massa relativistica è usata abbastanza poco dai fisici moderni, che usano "m" per indicare la massa a riposo; in quest'ottica E = mc² è l'energia a riposo dell'oggetto. In questo caso l'equazione si applica solo agli oggetti in quiete; la forma moderna dell'equazione per un oggetto in movimento è

± $E = \sqrt{p^2c^2+m^2c^4} = \gamma mc^2$ ,

dove $p = γ m v$ è il momento relativistico dell'oggetto e ponendo il caso a velocità zero si riduce a E = mc².

[modifica] Approssimazione per basse energie

Dato che l'energia a riposo è $m_0^2$ , e l'energia totale è data dall'energia cinetica più l'energia a riposo, l'energia cinetica relativistica è data da

$E_\mathrm{cinetica} = E_\mathrm{totale} - E_\mathrm{riposo} = \gamma m_0 c^2 - m_0 c^2 = \left(\gamma - 1 \right) m_0 c^2$

che per piccole velocità è approssimabile all'espressione classica dell'energia cinetica,

$E_\mathrm{cinetica}= \frac{1}{2} m_0 v^2$ .

Si può mostrare che le due forme concordano espandendo $γ$ in serie di Taylor,

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}} \approx \left( 1+ \frac{1}{2} \left(\frac{v}{c} \right)^2 \right)$ .

Inserendolo nell'equazione originaria,

$E_\mathrm{cinetica} \approx \frac{1}{2} \left(\frac{v}{c} \right)^2 m_0 c^2 =\frac{1}{2} m_0 v^2$ ,

quindi otteniamo

$\frac{1}{2}m_0v^2 = E_{totale} - E_{a riposo}$ ,

$E_{totale} = E_{a riposo} + \frac{1}{2}m_0v^2$ .

l'espressione relativistica dell'energia, che non concorda con l'espressione classica Newtoniana secondo la quale l'energia è solo cinetica. Questo mostra come la relatività sia una correzione di livello più elevato alla meccanica classica e che in situazioni di bassa energia la meccanica classica e quella relativistica non sono equivalenti.

Quello che invece è equivalente è l'espressione dell'energia cinetica, non l'energia totale.

Portando la meccanica classica fuori dai limiti entro i quali era stata teorizzata, cioè portandola nel mondo dell'immensamente grande o immensamente veloce, Einstein provò che la meccanica classica conteneva delle imprecisioni. Nel caso di oggetti più piccoli e più lenti come quelli usati per stabilire le leggi della meccanica, la meccanica classica è un sottoinsieme della meccanica relativistica. Le due teorie si contraddicono solo fuori dal regime classico.

[modifica] Einstein e il suo articolo del 1905

Albert Einstein non formulò esattamente la sua equazione nel suo articolo del 1905 "Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?" ("L'inerzia di un corpo dipende dal suo contenuto di energia?", pubblicato su Annalen der Physik il 27 settembre), uno degli articoli ora noti sotto la raccolta chiamata Annus Mirabilis Papers.

In quell'articolo si dice esattamente questo: 'Se un corpo perde l'energia L sotto forma di radiazioni, la sua massa diminuisce di L/c².', essendo la radiazione in questo caso energia cinetica, ed essendo la massa il concetto di massa usato a quel tempo, lo stesso che oggi chiamiamo energia a riposo

È la differenza nella massa prima della perdita di energia e dopo di essa ad essere uguale a L/c², non l'intera massa dell'oggetto. In quel momento questo concetto era solo teorico e non provato sperimentalmente.

[modifica] Contributi di altri

Einstein non fu il solo ad aver messo in relazione l'energia con la massa, ma fu il primo a presentare questa relazione come parte di una teoria più grande, e oltre a ciò, ad aver dedotto la formula dalle premesse della sua teoria.

Secondo Umberto Bartocci (Università di Perugia, storico di matematici), l'equazione fu pubblicata due anni prima da Olinto De Pretto, un industriale di Vicenza, in Italia, ma questo fatto non è ritenuto importante o accertato dalle correnti storiche principali. Anche se de Pretto introdusse la formula, fu Einstein a collegarla con la Teoria della Relatività.