Disuguaglianza di Chebyshev

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In un altro articolo è possibile trovare la Disuguaglianza di Chebyshev sulla somma.

La diseguaglianza di Tchebicheff o teorema di Chebyshev è una diseguaglianza usata soprattutto nell'ambito della teoria probabilistica e più raramente nell'ambito di serie di dati reali.

La diseguaglianza venne pubblicata la prima volta nel 1853 da Irenée-Jules Bienaymé e riscoperta indipendentemente da Pafnuti Cebicev alcuni anni dopo (pertanto viene anche citata come diseguaglianza di Bienaymé-Tchebicheff).

Afferma che, dato un carattere di cui sono noti solamente media aritmetica $\mu \,\!$ e deviazione standard $\sigma \,\!$ , possiamo conoscere la frequenza relativa massima delle unità che possono avere valori esterni a un intervallo simmetrico rispetto alla media aritmetica. In altri termini questo teorema ci assicura che, indipendentemente dalla distribuzione della variabile casuale, la probabilità che questa assuma valori distanti dalla media più di $k \,\!$ volte la deviazione standard è al massimo $\frac1{k^2} \,\!$

Nell'ambito della variabili stocastiche (v.s.) afferma che se la v.s. X ha la media (aritmetica) μ e la varianza σ² e λ è un reale positivo, allora la probabilità che X assuma un valore compreso tra μ-λσ e μ+λσ è maggiore di 1-1/λ².

In altre parole: Afferma che, dato un carattere di cui sono noti solamente media aritmetica $\mu \,\!$ e deviazione standard $\sigma \,\!$ , possiamo conoscere la frequenza relativa massima delle unità che possono avere valori esterni a un intervallo simmetrico rispetto alla media aritmetica. In altri termini questo teorema ci assicura che, indipendentemente dalla distribuzione della variabile casuale, la probabilità che questa assuma valori distanti dalla media più di $\lambda \,\!$ volte la deviazione standard è al massimo $\frac1{\lambda^2} \,\!$

Espresso con una formula:

$P(\mu - \lambda \sigma \le X \le \mu + \lambda \sigma) \ge \ 1 - \frac{1}{\lambda^2}$

che equivale a

$P\left(|{x_i-\mu}| \ge \lambda\cdot\sigma\right)\le \;\frac1{\lambda^2} \,\!$

Nell'ambito della statistica descrittiva afferma che almeno il (1-1/λ²)*100 percento dei valori sono compresi tra μ-λσ e μ+λσ.

Fisz dimostrò che (per le variabili dotate di media e varianza) non è possibile trovare una diseguaglianza migliore di quella di Cebicev, a meno che non si impongano dei vincoli alla distribuzione della variabile.

Da questa diseguaglianza si deduce che