Disuguaglianza di Chebyshev sulla somma
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- Un'altra voce parla della disuguaglianza di Chebyshev nella teoria delle probabilità.
In matematica, la disuguaglianza di Chebyshev sulla somma, che porta il nome di Pafnuty Chebyshev, stabilisce che se
e
allora
In modo simile, se
e
allora
o meglio
[modifica] Dimostrazione
La disuguaglianza di Chebyshev sulla somma segue dalla disuguaglianza di riarrangiamento. Supponiamo di avere
e
per la disuguaglianza di riarrangiamento avremo che
è il valore massimo che assume il prodotto scalare fra le due sequenze.
Sommando tutte queste disuguaglianze si ottiene
dividendo per n2:
[modifica] Disuguaglianza sulle funzioni
Esiste inoltre una versione continua della disuguaglianza di Chebyshev:
Se f e g sono funzioni nei reali ed integrabili in [0,1], entrambe crescenti o decrescenti, allora
Questo può essere generalizzato ad integrali in qualsiasi altro spazio, come anche a prodotti di integrali numerabili.
