Disuguaglianza di Bernstein
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Nella teoria della probabilità, la disuguaglianza di Bernstein è una delle disuguaglianze riguardanti la somma di variabili casuali. Venne formulata da Sergei Natanovic Bernstein, di cui porta il nome.
[modifica] Teorema
Siano X1,...,Xn delle variabili casuali indipendenti limitate, allora vale la disuguglianza:
;
dove :
è la varianza della somma delle variabili,![\mu = \sum E[X_i]](../../../math/3/7/f/37f48bdb76d381db1487b1d107d75e06.png)
è il valore atteso della somma delle variabili,- m è una costante tale che Prob( | Xi − μi | > m) = 0, ovvero m è lo scarto massimo rispetto alla media, presente tra le n variabili casuali
(tale m esiste, in quanto si è assunto che le Xi fossero limitate).
[modifica] Disuguaglianza di Bernstein e Chebyshev a confronto
Utilizzando la disuguaglianza di Chebyshev quadratica, si può stimare la stessa quantità:
la stima di Bernstein è evidentemente più accurata: garantisce infatti un decadimento esponenziale (per grandi λ) della probabilità che la somma delle variabili aleatorie si discosti dalla media (mentre la disuguaglianza di Chebyshev garantisce solo un decadimento quadratico). Tuttavia, la disuguaglianza di Bernstein è valida sotto l'ipotesi che le variabili considerate siano limitate (ipotesi non necessaria per Chebyshev).
