Hornafall

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu

Hornafall er stærðfræðilegt fall sem tekur einingalausa stærð sem breytu. Þessi breyta táknar síðan horn, þaðan kemur nafnið hornfall. Hornaföllinn eru sínus (sin), kósínus (cos), tangens (tan), sekant (sec), kósekant (csc) og kótangens (cot).

Hornaföll eiga sér andhverfar varpannir, sem eru stundum sameiginlega kölluð arcusarhornaföll. Þau föll heita sömu nöfnum og venjulegu hornaföllin, en með forskeytið „arcus“, sem er latneska orðið fyrir „horn“: Arcus sinus (arcsin), arcus cosinus (arccos), arcus tangens (arctan), og svo framvegis. Stundum eru þessi föll rituð sem $sin - 1$ , $cos - 1$ og svo framvegis á vasareiknum, til þess að spara pláss, en það er í raun ekki rétt þar sem að

$\cos^{-1}(x) = \frac{1}{\cos(x)} = \sec(x) \neq \arccos(x)$ .

Hornaföllin sem nefnd eru hér að framan eru skilgreind fyrir rétthyrnd hnitakerfi, en hýperbólísk hornaföll eru nauðsynleg í hýperbólísku rúmi, svo sem í Riemann rúmi, ásamt í mörgum sértilfellum í örsmæðareikningi og öðrum fögum. Ennfremur eru sérstakar hornafallareglur sem notaðar eru til þess að mæla horn í kúlum, en þær reglur tilheyra kúluhornafræði.

[breyta] Skilgreiningar

Til eru margar skilgreiningar á hornaföllum. Fyrsta skilgreiningin á þeim var samband á milli horna í rétthyrndum þríhyrningi og lengda hliða hans. Þannig er sínus af hvössu horni rétthyrnds þríhyrnings skilgreindur sem hlutfallið á milli mótlægrar skammhliðar og langhliðar, kósínus af hvössu horni í rétthyrndum þríhyrningi skilgreindur sem hlutfallið á milli aðlægrar skammhliðar og langhliðar og tangens af horni skilgreint sem hlutfallið á milli mótlægrar skammhliðar og aðlægrar skammhliðar eða sem hlutfallið á milli sínuss og kósínuss sama horns.

Almennari skilgreining er að skilgreina föllin sínus og kósínus sem hnit punkts á ferli einingarhrings, þannig að hornið sem miðað er við myndist á milli pósitífa hluta x-ássins og radíuss til punktsins. Þá er hægt að skilgreina þau fyrir hvaða horn sem er, ekki bara hvöss horn eins og ofangreind skilgreining gerir, heldur einnig rétt horn og gleið og reyndar einnig horn stærri en 180° án nokkurra efri marka.

Enn almennari skilgreining er að skilgreina hornaföllin sem summu af óendanlegri röð, s.s. Taylor röð eða veldaröð eða þá sem lausn á deildajöfnum.