תנועה בראונית
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
המושג תנועה בראונית (על שם הבוטניסט רוברט בראון ) יכול להתייחס לאחד מהשניים :
- התופעה הפיזיקלית בה חלקיקים זעירים, שקועים בנוזל או צפים על פניו, נעים באקראיות
- המודל המתמטי המשמש לתיאור תנועה אקראית זו, מודל המוכר גם כתהליך וינר.
תנועה בראונית היא אחד התהליכים הרציפים בזמן הפשוטים ביותר, והיא מהווה גבול הן לתהליכים סטוכאסטיים פשוטים והן מורכבים יותר (ראה גם הליכה אקראית והמשפט של דונסקר ). כלליות זו קשורה מאוד לכלליות של ההתפלגות הנורמלית. בשני המקרים, הנוחיות המתמטית של המודלים היא זו שיוצרת העדפה לשימוש בהם, יותר מהדיוק שלהם.
תוכן עניינים |
[עריכה] היסטוריה
איאן אינגנהאוז ביצע כמה תצפיות על תנועה חריגה של אבק פחם על אלכוהול ב-1765, אבל תנועה בראונית בדרך-כלל נחשבת כתגליתו של הבוטניסט רוברט בראון ב-1827. מאמינים כי בראון חקר חלקיקי אבקה צפים על מים תחת מיקרוסקופ. הוא מצא כי חלקיקים זעירים בתוך חללי גרגירי האבקה מבצעים תנועה לא יציבה. על ידי חזרה על הניסוי עם חליקיקי אבק, הוא היה מסוגל לפסול את המסקנה כי התנועה נבעה מהיות חלקיקי האבקה "חיים", למרות שהסיבה האמיתית לתנועה נותרה ללא הסבר.
האדם הראשון להסביר את המתמטיקה מאחורי התנועה הבראונית היה ת'ורוולד טייל ב-1880, בעבודה על שיטת הריבועים הקטנים. בעקבותיה באה עבודה עצמאית של לאויס באצ'לייר ב-1900, בתיזת הדוקטורט שלו "תורת הספקולציה". עם זאת, היה זה מחקרו העצמאי של אלברט איינשטיין של הבעיה בעבודתו משנת 1905, אשר הביאה את הפתרון לתשומת ליבם של הפיזיקאים. (התיזה של באצ'לייר הציה ניתוח סטוכאסטי של שוק המניות והאופציות.)
באותה תקופה, טבעו האטומי של החומר היה עדיין רעיון שנוי במחלוקת. איינשטיין ומריאן סמולוצ'ובסקי הבחינו כי, אם התאוריה הקינטית של הנוזלים היא נכונה, אז מולקולות המים ינועו באקראי. לכן, חלקיק קטן יקבל מספר אקראי של פגיעות בכוח אקראי בכל פרק זמן קצר. הפצצה אקראית זו על ידי מולקולות הנוזל, יגרמו לחלקיק קטן מספיק לנוע בדיוק באופן שתואר על ידי בראון. תיאודור סוודברג ביצע הדגמות חשובות של תנועה בראונית בקולואידים, ופליקס ארנהאפט – של חלקיקי כסף באוויר.
הויכוח האטומי התחיל עם דמוקריטוס ואנאקסגוראס (המורה של סוקרטס). לפילוסופים היו תאוריות אטומיות מנוגדות שנבדלו על ידי השאלה, לדוגמה, האם טיפת מים ניתנת לחלוקה חוזרת ללא גבול, כאשר לאחר כל חלוקה היא שומרת על תכונות המקור. האסכולה של דמוקריטוס גרסה כי החלוקה לא תוכל להימשך לעד. הדוקטרינה של הומויומריה (הומוגניות) בה החזיק אנאקסגוראס גרסה כי חלוקת הטיפה יכלה להימשך ללא סוף, מכיוון שגודל הגוף לא שיקף את טבע החומר שהרכיב אותו.
[עריכה] הסבר אינטואיטיבי של תנועה בראונית
תחשבו על בלון גדול, בקוטר 10 מטרים. דמיינו את הבלון הזה באיצטדיון כדורגל מלא צופים. הבלון כה גדול שהוא מונח על ראשיהם של אנשים רבים בקהל. עקב התרגשותם, הצופים מכים בבלון בזמנים ובכיוונים שונים, כאשר תנועותיהם אקראיות לחלוטין. בסופו של דבר, הבלון נדחף בכיוונים אקראיים, לכן בממוצע, הוא לא יזוז. עכשיו חישבו על הכוח המופעל ברגע מסוים. ייתכן כי יש 20 איש שדוחפים ימינה, ו-21 איש אחרים דוחפים שמאלה, כאשר כל אחד מפעיל כוח שווה, בקירוב. באותו רגע, הכוחות לא מאוזנים לטובת כיוון שמאל, ולכן הבלון ינוע מעט שמאלה. חוסר-איזון זה קיים כל הזמן וגורם לתנועה אקראית. אם אנו צופים במצב מלמעלה, מגובה רב, כך שאנו לא רואים את האנשים, נראה את הבלון כעצם קטן נע באופן בלתי יציב.
עתה נחזור לחלקיק האבקה של בראון, השוחה אקראית במים. קוטר מולקולת מים הוא כ-1 ננומטר, בעוד שזה של חלקיק אבקה הוא בערך 1 מיקרומטר, גדול פי אלף ממולקולת המים. וניתן לראותו כבלון ענקי, שנדחף על ידי מולקולות המים. תנועה בראונית של חלקיקי אבק בנוזל מתרחשת בגלל חוסר-האיזון הרגעי של הכוח המוםעל על החלקיקים על ידי מולקולות הנוזל.
[עריכה] מידול תנועה בראונית תוך שימוש במשוואות דיפרנציאליות
המשוואות השולטות בתנועה בראונית מתייחסות בצורה מעט שונה לכל אחת מההגדרות שניתנו למושג בתחילת כתבה זו.
- תנועה בראונית מתמטית - לחלקיק שחווה תנועה בראונית בהתאם להגדרה המתמטית, במשוואה שמכתיבה את ההשתנות בזמן של פונקציית הסתברות הצפיפות שקשורה למיקום של החלקיק הבראוני היא משוואת הדיפוזיה, משוואה דיפרנציאלית חלקית. ניתן לתאר את השתנות מיקום החלקיק הבראוני בזמן על ידי משוואת לנגבין , אשר מערבת שדה כוח אקראי המייצג את ההשפעת התנועות התרמיות של התמיסה על החלקיק הבראוני. בסקאלות זמן גדולות, הנועה הבראונית המתמטית מתוארת היטב על ידי משוואת לנגבין. בטווחי זמן קצרים, השפעות אינרטיות שכיחות במשוואה. שימו לב שהשפעות אלו נלקחות בחשבון במשוואת לנגבין, אחרת המשוואה הופכת לסינגולרית, כך שהוצאת הגורם האינרטי מהמשוואה לא תיתן תיאור מדויק, אלא התנהגות ייחודית בה החלקיק לא נע בכלל.
- תנועה בראונית פיזיקלית - משוואת הדיפוזיה מניבה קירוב של השתנות בזמן של פונקציית הסתברות הצפיפות, שקשורה למיקום החלקיק שחווה תנועה בראונית תחת ההגדרה הפיזיקלית. הקירוב תקף לסקאלות זמן ארוכות (ראה את משוואת לנגבין לפרטים). השתנות בזמן של מיקום החלקיק הבראוני עצמו מתוארת באופן מיטבי על ידי משוואת לנגבין, אשר מערבת שדה כוח אקראי שמייצג את השפעת התנודות התרמיות בתמיסה על החלקיק.
[עריכה] תרבות פופולרית
בספר "מדריך הטרמפיסט לגלקסיה", החללית "לב הזהב" מונעת על ידי תנועה בראונית, באמצעות כוס פשוטה של תה חם.
