פונקציית גל

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

פונקציית הגל היא מצב קוונטי המייצג את מיקומו של חלקיק במרחב ומהווה פתרון למשוואת הגלים של שרדינגר. במובנה המורחב, "פונקציית גל" היא שם נרדף למצב הקוונטי של החלקיק. במובנה המצוצמם, היא מתייחסת רק לתיאור המקום של חלקיק במרחב. מאמר זה ידון בפונקציית הגל במובנה המצומצם.

[עריכה] הגדרה אינטואיטיבית

פונקציית הגל $\ \psi (\vec{r})$ היא פתרון של משוואת שרדינגר בעל המשמעות הבאה: ככל שהאמפליטודה (משרעת) $\ \psi (\vec{r})$ גדולה יותר עבור $\vec{r}$ מסוים, כך גדלים הסיכויים שאם נמדוד את מיקום החלקיק, נמצא את החלקיק באותו מקום $\vec{r}$ .

[עריכה] הגדרה פורמלית

בסימון דיראק המצב הקוונטי של חלקיק מיוצג על ידי $\ | \psi \rang$ , וקטור מופשט במרחב הילברט. באופן פורמלי, פונקציית הגל $\ \psi (\vec{r})$ מוגדרת כהטלה של המצב הקוונטי של המערכת על בסיס המקום, כלומר: $\psi(\vec{r}) = \lang \vec{r} | \psi \rang$ . המשמעות של פונקציית הגל היא כזאת: צפיפות ההסתברות למצוא את החלקיק במקום $\ \vec{r} = \vec{r_0}$ היא

$\ \mbox{Prob} \left( \psi , \vec{r}=\vec{r_0} \right) = \left| \lang \vec{r_0} | \psi \rang \right| ^2 = | \psi (\vec{r_0}) |^2$

כדי שפונקציה $\ \psi (t, \vec{r})$ תהיה אכן "פונקציית גל" עליה לפתור את משוואת שרדינגר בהצגה המרחבית. משוואת שרדינגר בבסיס זה היא מהצורה:

$\ i \hbar \frac{ \partial \psi (t,\vec{r})}{\partial t} = \frac{- \hbar ^2}{2m} \nabla ^2 \psi (t,\vec{r}) + V(\vec{r}) \psi (t,\vec{r})$

ואפשר להסיקה על ידי ביטוי ההמילטוניאן $\ H (\vec{r} , \vec{p})$ של החלקיק והסתמכות על העובדה שבהצגת המרחב, אופרטור התנע מוצג כ $\ p = \frac{\hbar}{i} \vec{\nabla}$ .

כדי למצוא את פונקציית הגל של חלקיק המצוי תחת השפעת פוטנציאל $\ V(\vec{r})$ יש לפתור את משוואת שרדינגר הרשומה לעיל. במהלך הפתרון אפשר למצוא מצבים קשורים, מצבים בהם מתקיימת קוונטיזציה של המצבים המותרים שהחלקיק יכול להימצא בהם (מרצף מצבים של חלקים חופשים למספר בן-מניה של מצבים).

[עריכה] התפתחות המושג

התפתחות מושג פונקציית הגל בא מההתנהגות הכמו-גלית של חלקיקים שניצפתה בניסויים. בניסויים אלה נראה שהאלקטרון מתנהג כאילו מיקומו "מרוח" על כל המרחב והוא נמצא במספר רב של מקומות בו-זמנית כל עוד לא מודדים באיזה מקום הוא נמצא.

בעקבתו ניסוי שני הסדקים ועבודתו של לואי דה ברויי נוסח הרעיון שאת מיקומו של חלקיק ניתן לתאר כהרכבה של גלים שתיצור חבורת גלים הממורכזת סביב מיקומו ה"קלאסי" של החלקיק. שיקולים סמי-קלאסיים על תכונות של גלים הביאו להצעת הצורה הכללית של פונקציית הגל של חלקיק חופשי:

$\ \psi (\vec{r}) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int{ \phi (\vec{p}) e^{{i \over \hbar} \vec{p} \cdot \vec{r}} \ dp}$

כמו גל, גם הפתרון הכללי הוא בעצם טרנספורם פורייה על מרחב דואלי שלא תלוי במיקום - זהו מרחב התנע (ראה מכניקה המילטוניאנית). תיאור החלקיק על ידי פונקציית גל הסביר מדוע אלקטרונים יכלו לבצע התאבכות.

כדי לקבל את התפתחות פונקציית הגל בזמן, הפעיל שרדינגר עוד פעם שיקול סמי-קלאסי. עבור גל אור מקוונטט $\ A = e^{i(kx - \omega t)}$ מתקיימים הקשרים הבאים:

$\ E = p c$ כאשר E אנרגיה, p הוא תנע ו-c מהירות האור.

$\ E = \hbar \omega \quad \quad ; \quad \quad k = \hbar p$

אך עבור חלקיק חופשי מתקיים ש

$\ E = \frac{\vec{p}^2}{2m} = \frac{p^2}{2m}$

ולכן

$\psi (t, \vec{r}) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int{ \phi (\vec{p}) e^{{i \over \hbar} ( \vec{p} \cdot \vec{r} - E_p t)} \ dp} = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int{ \phi (\vec{p}) e^{{i \over \hbar} ( \vec{p} \cdot \vec{r} - {p^2 \over 2m} t)} \ dp}$

בבסיס המקום (r),אופרטור התנע מוצג כ $\ p = \frac{\hbar}{i} \vec{\nabla}$ ולכן משוואת שרדינגר עבור חלקיק חופשי היא:

$\ i \hbar \frac{ \partial \psi (t,\vec{r})}{\partial t} = \frac{- \hbar ^2}{2m} \nabla ^2 \psi (t,\vec{r})$

(קל לוודא זאת באופן ישיר על ידי חישוב מפורש של שני אגפי המשוואה ושימוש בתכונות של נגזרות חלקיות).

כדי להכליל עבור מקרה בו החלקיק איננו חופשי, אלא נתון תחת השפעת פוטנציאל, מוסיפים את הפוטנציאל למשוואה באופן הבא:

$\ i \hbar \frac{ \partial \psi (t,\vec{r})}{\partial t} = \frac{- \hbar ^2}{2m} \nabla ^2 \psi (t,\vec{r}) + V(\vec{r}) \psi (t,\vec{r})$

הביטוי באגף ימין הוא בעצם ההמילטוניאן H שפועל על פונקציית הגל ומכך ניתן להסיק את הצורה הכללית של משוואת שרדינגר.

[עריכה] קריסת פונקציית הגל

"קריסת פונקציית הגל" הוא ההסבר (או ליתר דיוק, תיאור) התופעה שבה בעת ביצוע מדידה פונקציית הגל עוברת ממצב של סופרפוזיציה למצב עצמי מובחן, לפי פרשנות קופנהגן. חשוב לציין ש"קריסת פונקציית הגל" היא תוספת חיצונית למכניקת הקוונטים ולא חלק מהפורמליזם של שרדינגר, ונילס בוהר הוסיף אותה על מנת להסביר את התופעה הניסיונית שבה אחרי מדידה של חלקיק קוונטי (כגון אלקטרון) - אחרי שמדדת ערך מסוים, מדידות חוזרות יראו רק את ערך זה ולא שום ערך אחר.

בסימון דיראק אפשר לבטא את קריסת פונקציית הגל כך:
נניח שיש לנו לפני המדידה חלקיק בסופרפוזיציה של 3 מצבים עצמיים (בלי הגבלת כלליות, שווי הסתברות):

$\ | \psi \rang = \frac{1}{\sqrt{3}} \left( | 1 \rang +| 2 \rang + | 3 \rang \right)$

נניח שביצעתי עליו מדידה, שמבדילה בין 3 המצבים העצמיים הללו (מדידה כזאת אפשר לייצג על ידי אופרטור השלכה שהוא אינו יוניטרי). נניח שקיבלנו במדידה שהערך העצמי הוא 2. אזי אחרי המדידה מצב החלקיק הוא $\ | 2 \rang$ וכל מדידה נוספת תחזיר 2.

קריסת פונקציית הגל מתרחשת רק לפי פרשנות קופנהגן. קיימים פירושים אחרים למכניקת הקוונטים, בהם פונקציית הגל איננה קורסת. המוצלח שבהם הוא פירוש העולמות המרובים.