וקטור (פיזיקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

וקטור הוא גודל פיזיקלי בעל כיוון (מגמה).

דוגמאות לגדלים וקטוריים: כוח, מהירות ותאוצה.

סקלר, המתואר על-ידי מספר יחיד, וטנזורים מסדרים גבוהים יותר הם סוגים אחרים של גדלים פיזיקליים.

לייצוגו של וקטור דרושים נתונים כמספר הממדים של המרחב שבו דנים. למשל, כדי לבטא מהירות על פני מישור יש צורך בשני נתונים, אך כדי לבטא מהירות במרחב יש צורך בשלושה נתונים.

הכללה של מושג הווקטור הפיזיקלי וביסוס מתמטי לאריתמטיקה של וקטורים נעשים במושג הוקטור המתמטי.

השימוש הנפוץ ביותר בפיזיקה לווקטורים הוא תיאור התנועה של גוף במרחב. הווקטור הבסיסי ביותר הוא וקטור המקום, שמתאר את קואורדינטות המקום ביחס לראשית (נקודת האפס) של מערכת הצירים במערכת צירים קרטזית.

$\ \vec{r} = x \hat{x} + y \hat{y} + z \hat{z} = ( x , y , z)$

וקטור המהירות הוא השינוי בווקטור המקום חלקי הזמן שעבר:

$\ \vec{v} = \frac{d}{dt} \vec{r} = \frac{dx}{dt} \hat{x} + \frac{dy}{dt} \hat{y} + \frac{dz}{dt} \hat{z} = v_x \hat{x} + v_y \hat{y} + v_z \hat{z}$

מאותה סיבה, גם התאוצה היא וקטור ובגלל החוק השני של ניוטון נובע שגם הכוח הוא וקטור. לכן, וקטורים משמשים לתאר שדות כוח במרחב. השדה הווקטורי הידוע ביותר הוא השדה האלקטרומגנטי ובייחוד השדה החשמלי האלקטרוסטטי שקל יחסית לתיאור מתמטי ופיזיקלי.

כדי לנתח שינוי בגדלים וקטוריים פותח תחום המשלב אנליזה מתמטית, אלגברה לינארית וחשבון אינפיניטסימלי. תחום זה נקרא אנליזה וקטורית.

[עריכה] וקטור פולרי ווקטור אקסיאלי

[עריכה] הגדרה

וקטור פולרי ווקטור אקסיאלי שנקרא גם פסאודו-וקטור נבדלים בדרך שבה הם מתנהגים תחת טרנספורמציית שיקוף.

וקטור אקסיאלי, או פסאודו-וקטור, הוא וקטור שזוכה ל"היפוך סימן" ביחס לווקטור הפולרי כאשר הוא עובר טרנספורמציית סיבוב שכוללת גם שיקוף.

[עריכה] הדגמה

ניקח גליל שמסתובב סביב צירו נגד כיוון השעון ושציר הסימטריה שלו מתלכד עם ציר z. אנו טוענים כי המהירות הזוויתית של נקודה על הגליל היא פסאודו-וקטור. נשקף את הגליל במראה המשקפת את ציר x. ניתן לתרגם פעולה זו לנוסחה הבאה:

$\!\, x \to -x \ , \ y \to y \ , \ z \to z \$

אם ברגע מסוים, מצב המהירות והמיקום של פס אדום על שפת הגליל ישתנה, ובמערכת המשוקפת רק המיקום של הפס ישתנה, הטרנפורמציה למערכת המקורית תהיה:

$\!\, \vec{r} = r \hat{x} \ , \ \vec{v} = v \hat{y}$

[עריכה] מסקנה

כיוון המהירות הזוויתית, שהיה במערכת המקורית בכיוון ציר z, יהיה במערכת המשוקפת בכיוון השלילי של ציר z: $\ \omega = \omega \hat{z}$ .

מסקנה זו ניתן להסביר גם באופן אינטואיטיבי: אם נסובב גליל כנגד כיוון השעון, כשנסתכל במראה נראה שהגליל מסתובב עם כיוון השעון שהוא הכיוון ההפוך מהכיוון בו אנו באמת מסובבים את הגליל.

ההגדרה של וקטור ההמהירות הזוויתית היא:

$\!\, \vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$

וקטור המהירות זוויתית, שלא היה אמור להשתנות בהשפעת טרנספורמצית השיקוף מפני שהוא בכיוון z והטרנספורמציה לא משנה וקטור בכיוון זה, עבר שינוי סימן נוסף.

שינוי הסימן הנוסף היא תכונה המאפיינת את הפסאודו-וקטורים. גדלים רבים בפיזיקה הם פסאודו-וקטורים. כמעט כולם הם גדלים שמוגדרים באמצעות מכפלה וקטורית, כגון תנע זוויתי או שדה מגנטי. למעשה, הפסאודו-וקטור הנפוץ והיומיומי ביותר הוא הכיוונים ימין ושמאל שאנו משתמשים בהם באופן קבוע. מאחר שהימין מוגדר ביחס לשני וקטורים אחרים, ברגע שאחד מהם עובר שיקוף המתבטא בהיפוך כיוון ובשינוי סימן, גם הווקטור השני משנה את סימנו - למרות שהוא לא משוקף באופן ישיר.