פונקציה אנליטית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

ערך זה זקוק לעריכה, על מנת שיתאים לסגנון המקובל בוויקיפדיה.
לצורך זה ייתכנו סיבות אחדות: פגמים טכניים כגון מיעוט קישורים פנימיים, סגנון הטעון שיפור או צורך בהגהה. אם אתם סבורים כי אין בדף בעיה, ניתן לציין זאת בדף השיחה שלו.

פונקציה אנליטית היא פונקציה שיש לה פיתוח לטור חזקות המתכנס בסביבה כלשהי. בזכות מבחן השורש, גם הנגזרת של פונקציה אנליטית היא אנליטית, ולכן אפשר לגזור פונקציה כזו אינסוף פעמים.

לפונקציה אנליטית מרוכבת קוראים פונקציה הולומורפית. זהו הסוג החשוב ביותר של פונקציה אנליטית, עד כדי כך שלפעמים מחליפים בין המושגים. פונקציות אלה הן האובייקט המרכזי באנליזה מרוכבת, ובהן עוסק הערך פונקציה הולומורפית.

באופן רחב יותר, תכונת האנליטיות יכולה לחול על כל פונקציה משדה מקומי לעצמו, ובפרט ישנן פונקציות אנליטיות ממשיות. לטור החזקות המייצג פונקציה אנליטית ממשית (או מרוכבת) יש רדיוס התכנסות גדול מאפס.

[עריכה] הגדרה

תהי f פונקציה ממשית או מרוכבת. נאמר ש-f אנליטית בנקודה $\ x_0$ אם f מוגדרת בסביבה של $x 0$ , וניתנת לפיתוח לטור חזקות שמתכנס ל-f בסביבה של $x 0$ :

$a_0 + a_1 (x-x_0) + a_2 (x-x_0)^2 + a_3 (x-x_0)^3 + \cdots$ $f(t) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-x_0 \right)^n =$

לטור כזה יש סביבת התכנסות המכילה כדור פתוח ברדיוס R, נאמר, ומוכלת בכדור הסגור בעל אותו רדיוס. ממבחן השורש נובע שטור החזקות המייצג את f הוא גזיר, והנגזרת בעלת אותו רדיוס התכנסות. לכן פונקציה אנליטית גזירה אינסוף פעמים בנקודה $x 0$ . הדוגמה הפשוטה לפונקציה אנליטית היא פולינום בעל מקדמים ממשיים או מרוכבים. אומרים שפונקציה f היא אנליטית בתחום פתוח D אם היא אנליטית בכל נקודה בתחום D.

[עריכה] תכונות

[עריכה] סגירות

סכום של פונקציות אנליטיות (בנקודה) היא פונקציה אנליטית (באותה נקודה).
מכפלה של פונקציות אנליטיות היא אנליטית.
אם f אנליטית ב- $\ x_0$ ו-g אנליטית ב- $\ y_0=f(x_0)$ , אז ההרכבה $\ g \circ f$ אנליטית ב- $\ x_0$ .
אם $\ f,g$ אנליטיות ב- $\ x_0$ ו- $\ g(x_0)\ne 0$ אז $\ \frac{f}{g}$ גם אנליטית באותה נקודה.

דוגמאות לפונקציות אנליטיות בכל המישור המרוכב:

כל פולינום.
פונקציית האקספוננט: $\ e^z$ .
הפונקציות הטריגונומטריות סינוס וקוסינוס.

[עריכה] שורשים והתאפסויות

אם לפונקציה אנליטית f יש מספר בן מניה של אפסים ולהם נקודות הצטברות בתוך התחום, אזי f שווה לאפס בכל תחום הקשירות המכיל את נקודת ההצטברות.
אם כל הנגזרות של פונקציה אנליטית בנקודה מסוימת הם אפס אזי היא שווה זהותית לאפס בכל תחום הקשירות של נקודה זו.