类的表示法
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[编辑] 论域与文氏图
在一次讨论问题中，通常我们可以直观地认为所讨论的对象有一个总体范围(如针对全体实数R、全体自然数N、一定范围内的所有人，等等)，这个总体范围就称为论域，论域通常用Ω表示。论域是一次讨论问题中“最大的”类。当论域是集合时我们也称之为全集。
论域往往在讨论中并不显式地指出，但有时我们却要显式地给出论域。
我们经常在不严格的意义下通过草图来表示类，这种方法尤其适合用来表示类之间的“大致关系”，它也常常被用来帮助推导(或理解推导过程)关于类运算的一些规律。 一种相对标准的草图格式称为文氏图(如下图所示)。在文氏图法中，如果有论域，则以一个矩形框(的内部区域)表示论域；各个类就以圆/椭圆(的内部区域)来表示。两个圆/椭圆相交，其相交部分表示两个类的公共元素，两个圆/椭圆不相交(相离或相切，而实际上在文氏图中相切是没有什么意义的，因为文氏图是以图形的内部区域表示类)则说明这两个类没有公共元素。
文氏图(或其它的图示法)并不能准确表示一个类中到底有哪些元素。为了容易地让看的人能够“看出”一个类中到底有什么样的元素(外延)、或是这个类中的元素到底有什么性质(内涵)，我们必须给出类的准确的表示方法。
[编辑] 列举法
如果已知类的每一个元素，而且元素个数“相当有限”，我们可以通过“列举”其所有元素的方法来表示这个类，如：{1,2,3}、{a}、{A,B,C,D,E}等。一对花括号“{}”是类表示法的特征符号。
如果类的元素有“很多”甚至“无限多”以至于很难或无法将所有元素一一列出，但其元素又具有很明显的“规律”，我们可以用“…”略过规律性比较明显的大量元素，如用{1,2,…,100}表示其元素是从1到100的所有自然数、{A,B,…,Z}表示所有的大写英文字母、{3,4,5,…}表示从3开始的所有自然数，等等。
这种表示方法我们称之为列举法，又因列举法的实质是给出了类的外延，因此又称为外延法。如果在列举法中列出了类的所有元素，此时称为完全列举法，否则就称为部分列举法。
[编辑] 描述法
根据内涵公理，只要给出一个关于集合的性质，就能依该性质构造出一个类，使其所有元素恰好是满足该性质的所有集合，因此我们可以用描述该性质的方法来表示相应的类，这种表示法称为描述法，又因描述法的本质是给出了类的内涵，因此又称为内涵法。
如用{x|x≥1.2}表示不小于1.2的全体实数、{所有姓张的人}表示所有姓张的人，等等。
在描述法中，对于客观问题，我们可以直接将性质描述在花括号中；对于数学问题，我们通常先用一个字母(或其元素的一般形式)代表其元素的“通项”，然后用数学表达式给出通项应满足的条件。“|”是描述法的特征符号，通常的描述法格式是{x|P(x)}，它表示在论域内满足性质P的所有集合组成的类。
有时必须显式地给出论域(或全集)，如{x|x>1且x∈N}表示大于1的全体自然数。这时的描述法格式为{x|P(x)，x∈Ω}或{x∈Ω|P(x)}。
