Privacy Policy Cookie Policy Terms and Conditions การแปลงโคไซน์ไม่ต่อเนื่อง - วิกิพีเดีย

การแปลงโคไซน์ไม่ต่อเนื่อง

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

การแปลงโคไซน์ไม่ต่อเนื่อง (DCT-discrete cosine transform) เป็นการแปลงออทอโกนัล ที่เป็นจำนวนจริง และมีฟังก์ชันโคไซน์ เป็นฐาน มีทั้งหมด 8 ชนิด คือ DCT-1 ถึง DCT-4 ความยาวคู่ (หรือ DCT-IE ถึง DCT-IVE) และ DCT-5 ถึง DCT-8 ความยาวคี่ (หรือ DCT-IO ถึง DCT-IVO)

การแปลงโคไซน์ ที่รู้จักกันมากที่สุด คือ DCT ชนิดที่สองความยาวคู่ ซึ่งมักจะเรียกสั้นๆว่า "การแปลง DCT" และ เรียกการแปลงกลับ ซึ่งเท่ากับการแปลง DCT-III ว่า "การแปลงกลับ DCT" หรือ "IDCT (Inverse DCT)"

สารบัญ

[แก้] การประยุกต์ใช้งาน

DCT และ การแปลงที่สัมพันธ์ที่ใกล้ชิดกันคือ การแปลงไซน์ไม่ต่อเนื่อง(DST) นั้นมีการประยุกต์ใช้งานที่รู้จักกันดีใน การประมวลผลสัญญาณ และ การประมวลผลภาพ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการเข้ารหัสแบบแปลง(transform coding) เพื่อการบีบอัดข้อมูลแบบมีการสูญเสีย ทั้งตามมาตรฐานการบีบอัดภาพนิ่ง JPEG และ มาตรฐานการบีบอัดภาพเคลื่อนไหว MPEG ทั้งนี้เนื่องมาจากคุณสมบัติของ DCT ที่เรียกว่า energy compaction ที่ดี คือ สามารถอัดพลังงานส่วนใหญ่ของสัญญาณ โดยเฉพาะภาพ ไปไว้ในสัมประสิทธิ์ย่านความถี่ต่ำในโดเมนของการแปลง และ การคำนวณการแปลงในทางปฏิบัติสามารถกระทำได้อย่างมีประสิทธิภาพ

[แก้] คำจำกัดความมาตรฐาน

การแปลงในรูปเมทริกซ์ :

\mathbf{X}^{DCT}= [C]\mathbf{x}

หมายเหตุ : ความยาวคี่(คู่) ของการแปลงในที่นี้หมายถึงส่วนความยาวของข้อมูล รวมกับส่วนขยายเสมือน ไม่ใช่ความยาวของตัวข้อมูลเอง ซึ่งในที่นี้ความยาวของข้อมูลสามารถเป็นได้ทั้งคู่ และคี่ ขึ้นกับ N

[แก้] การแปลงความยาวคู่

การแปลงโคไซน์มาตรฐาน ความยาวคู่ ในรูปเมทริกซ์ ให้ m,n = 0,\ldots,N-1

[แก้] DCT-1

\left[ C^{IE}_{N} \right]_{mn} = \sqrt{\frac{2}{N-1}} \left[ k_{m}k_{n} \cos \left( mn \frac{\pi}{N-1} \right) \right]

โดยที่ k_i = \left \{ \begin{matrix} 1/ \sqrt{2}, & \mbox{if }i=0\mbox{ or }N-1 \\ 1, & \mbox{otherwise } \end{matrix} \right.

[แก้] DCT-2

\left[ C^{IIE}_{N} \right]_{mn} = \sqrt{\frac{2}{N}} \left[ k_{m} \cos \left( m( n+\frac{1}{2}) \frac{\pi}{N} \right) \right]

[แก้] DCT-3

\left[ C^{IIIE}_{N} \right]_{mn} = \sqrt{\frac{2}{N}} \left[ k_{n} \cos \left( (m+\frac{1}{2})n \frac{\pi}{N} \right) \right]

โดยที่ k_i = \left \{ \begin{matrix} 1/ \sqrt{2}, & \mbox{if }i=0 \\ 1, & \mbox{otherwise } \end{matrix} \right. สำหรับกรณี DCT-2, DCT-3

[แก้] DCT-4

\left[ C^{IVE}_{N} \right]_{mn} = \sqrt{\frac{2}{N}} \left[ \cos \left( (m+\frac{1}{2})(n+ \frac{1}{2}) \frac{\pi}{N} \right) \right]

[แก้] การแปลงความยาวคี่

การแปลงโคไซน์มาตรฐาน ความยาวคู่ ในรูปเมทริกซ์ ให้ m,n = 0,\ldots,N-1

[แก้] DCT-5

\left[ C^{I0}_{N} \right]_{mn} = \sqrt{\frac{2}{N-1/2}} \left[ k_{m}k_{n} \cos \left( mn \frac{\pi}{N-1/2} \right) \right]

[แก้] DCT-6

\left[ C^{II0}_{N} \right]_{mn} = \sqrt{\frac{2}{N-1/2}} \left[ k_{m}l_{n} \cos \left( m( n+\frac{1}{2}) \frac{\pi}{N-1/2} \right) \right]

[แก้] DCT-7

\left[ C^{III0}_{N} \right]_{mn} = \sqrt{\frac{2}{N-1/2}} \left[ l_{m}k_{n} \cos \left( (m+\frac{1}{2})n \frac{\pi}{N-1/2} \right) \right]

โดยที่ k_i = \left \{ \begin{matrix} 1/ \sqrt{2}, & \mbox{if }i=0 \\ 1, & \mbox{otherwise } \end{matrix} \right. และ l_i = \left \{ \begin{matrix} 1/ \sqrt{2}, & \mbox{if }i=N-1 \\ 1, & \mbox{otherwise } \end{matrix} \right.

สำหรับกรณี DCT-5, DCT-6 และ DCT-7

[แก้] DCT-8

\left[ C^{IV0}_{N} \right]_{mn} = \sqrt{\frac{2}{N+1/2}} \left[ \cos \left( (m+\frac{1}{2})(n+ \frac{1}{2}) \frac{\pi}{N+1/2} \right) \right]

[แก้] การแปลงกลับ

การแปลงกลับ DCT หรือ IDCT นั้น สามารถหาได้จาก ทรานสโพส ของการแปลง เนื่องมาจากคุณสมบัติ unitary ของเมทริกซ์การแปลง DCT ซึ่งการแปลงทั้งความยาวคู่ และ คี่ นั้นมีคุณสมบัติดังกล่าว เมทริกซ์การแปลงด้านล่างจึงใช้หมายถึงทั้งความยาวคู่ และ คี่

\left[ C^{I}_{N} \right]^{-1} =\left[ C^{I}_{N} \right]^{T} =\left[ C^{I}_{N} \right]
\left[ C^{II}_{N} \right]^{-1} =\left[ C^{II}_{N} \right]^{T} =\left[ C^{III}_{N} \right]
\left[ C^{III}_{N} \right]^{-1} =\left[ C^{III}_{N} \right]^{T} =\left[ C^{II}_{N} \right]
\left[ C^{IV}_{N} \right]^{-1} =\left[ C^{IV}_{N} \right]^{T} =\left[ C^{IV}_{N} \right]

[แก้] รายละเอียดอื่นๆ

การแปลงโคไซน์ ไม่ต่อเนื่องนั้นถูกค้นพบครั้งแรกในปี ค.ศ. 1974 [1] โดยเวกเตอร์ฐาน DCT-2 ได้ถูกพัฒนาขึ้นมาเพื่อใช้ในการประมาณไอเก้นเวกเตอร์ ของเมทตริกซ์โทปลิทซ์ (Toeplitz) โดยฐาน DCT นี้ จะมีค่าเข้าใกล้(asymptotically) ไอเก้นเวกเตอร์จริง(หรือ เวกเตอร์ฐาน Karhunen-Loève) ของเมทริกซ์โควาเรียนซ์ (covariance matrix) ของ first-order stationary Markov process เมื่อค่าสัมประสิทธิ์โครีเลชัน(correlation coefficient) มีค่าเข้าใกล้ 1 ดังนั้น ฐาน DCT นี้จึงเหมาะที่จะใช้แทนไอเก้นเวกเตอร์ซึ่งเป็นฐานที่ดีที่สุดในการบีบอัดสัญญาณประเภทนี้

[แก้] ความสัมพันธ์ของ DCT ทั้ง 8 ชนิด

เช่นเดียวกับการแปลงฟูริเยร์ไม่ต่อเนื่อง(DFT) DCT นี้ก็เป็นการวิเคราะห์ฮาร์โมนิก เพียงแต่ฐานที่ใช้ในการวิเคราะห์นั้นเป็นจำนวนจริง [2]ได้แสดงถึงชุดที่สมบูรณ์ทั้ง 8 ของ DCT และ DST โดยการวิเคราห์ฮาร์โมนิกที่เป็นจำนวนเต็ม(integer harmonics) และ ครึ่งจำนวนเต็ม(half integer harmonics)ของสัญญาณ

ในลักษณะเดียวกับที่ เมทริกซ์เซอร์คิวแลนท์(circulant matrix) ซึ่งมี เมทริกซ์ DFT เป็นไอเก้น เมทริกซ์ที่มีเมตริกซ์ DCT เป็นไอเก้นนั้นจะอยู่ในรูปของ เมทริกซ์โทปลิทซ์(Toeplitz matrix)+เมทริกซ์เฮงเคิล(Hankel matrix)(หรือ ใกล้เคียง)และคูณด้วยค่าสเกล ซึ่งแทนการกระทำ คอนโวลูชันแบบสมมาตร(symmetric convolution) จาก การคอนโวลูชัน และ เงื่อนไขความสมมาตรที่ขอบ (ในลักษณะเดียวกับ เซอร์คิวแลนท์เมทริกซ์ แทนการกระทำคอนโวลูชันเป็นวงรอบ(circular convolution)) ค่าสเกลนั้นใช้ในการจัดเมทริกซ์ให้อยู่ในรูปสมมาตร เพื่อจะได้ไอเก้นเวกเตอร์ ที่ออทอโกนัล :ดูเพิ่ม [4]

ภาพด้านล่างเป็นการแสดงสัญญาณเสมือน(ซึ่งเป็นการต่อสัญญาณดั้งเดิมออกไป เป็นสัญญาณคาบที่มีความยาวไม่จำกัด) ของสัญญาณดั้งเดิมซึ่งมีความยาวจำกัด N(จาก 0 ถึง N-1) และเป็นไปตามเงื่อนไขขอบ ที่ จุด (midpoint) หรือ กึ่งกลางระหว่างจุด (meshpoint) โดยเงื่อนไขขอบด้านซ้าย หรือ จุดต้น นั้นจะเป็นเงื่อนไขความสมมาตร และ เงื่อนไขขอบด้านขวา หรือ จุดปลาย นั้นจะเงื่อนไขเพื่อสร้างสัญญาณคาบ(เป็นได้ทั้ง สมมาตร(symmetry) และ สมมาตรกลับ(antisymmetry)) ซึ่งจะมีทั้งหมด 8 รูปแบบดังแสดงในรูป

สัญญาณเสมือน ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข ขอบซ้าย(สมมาตร) และ ขอบขวา(คาบ)-ดัดแปลงจาก ภาพ2ใน[3]
ชนิด ความยาวคาบคู่ ชนิด ความยาวคาบคี่
DCT-I DCT-V
DCT-II DCT-VI
DCT-III DCT-VII
DCT-IV DCT-VIII

[แก้] อ้างอิง

  1. N.Ahmed, T. Natarajan, K. R. Rao, "Discrete cosine transform," IEEE Trans. Comput., C-23(1974), pp. 90-93.
  2. Z. Wang and B. Hunt, "The discrete W-transform," Appl. Math. Comput., 16 (1985), pp. 19-48.
  3. S. A. Martucci, "Symmetric convolution and the discrete sine and cosine transforms," IEEE Trans. Sig. Processing, SP-42, 1038-1051 (1994).
  4. G. Strang, "The Discrete Cosine Transform," Siam Review, vol. 41, no.1, pp. 135-147.


[แก้] แหล่งข้อมูลอื่น

THIS WEB:

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - be - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - closed_zh_tw - co - cr - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - haw - he - hi - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - ms - mt - mus - my - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - ru_sib - rw - sa - sc - scn - sco - sd - se - searchcom - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sq - sr - ss - st - su - sv - sw - ta - te - test - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tokipona - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu

Static Wikipedia 2008 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu -

Static Wikipedia 2007:

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - be - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - closed_zh_tw - co - cr - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - haw - he - hi - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - ms - mt - mus - my - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - ru_sib - rw - sa - sc - scn - sco - sd - se - searchcom - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sq - sr - ss - st - su - sv - sw - ta - te - test - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tokipona - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu

Static Wikipedia 2006:

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - be - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - closed_zh_tw - co - cr - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - haw - he - hi - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - ms - mt - mus - my - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - ru_sib - rw - sa - sc - scn - sco - sd - se - searchcom - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sq - sr - ss - st - su - sv - sw - ta - te - test - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tokipona - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu