การเรียงสับเปลี่ยน และ การจัดหมู่

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

การเรียงสับเปลี่ยน และ การจัดหมู่

สารบัญ

1 การจัดหมู่
2 การเรียงสับเปลี่ยน
3 การเลือกซ้ำ
4 สรุปสูตรที่สำคัญ
5 ดูเพิ่ม

[แก้] การจัดหมู่

การจัดหมู่ คือ การเลือกวัตถุจากกลุ่ม โดยไม่สนใจลำดับของการเลือก เช่น ในการเล่นไพ่โป๊กเกอร์ ผู้เล่นแต่ละคนจะได้รับไพ่ 5 ใบจากทั้งหมด 52 ใบ ซึ่งลำดับในการได้รับแต่ละใบมานั้นจะไม่ผลในการเล่น

ในคณิตศาสตร์เชิงการจัดนั้น การจัดหมู่ คือ สับเซต ในเซตใดๆ นั้น ตำแหน่งไม่มีความสำคัญ เนื่องจากในแต่ละเซต สิ่งที่เราสนใจคือ สิ่งของ ที่อยู่ในเซต หรือสมาชิกของเซต แต่ไม่สนใจลำดับ เช่น

{2, 4, 6} = {6, 4, 2}

และ {1,1,1} มีความหมายเท่ากับ {1} เนื่องจาก เซตนั้นกำหนดความแตกต่างด้วยสมาชิกที่แตกต่างกันในเซต

ดูเพิ่มที่บทความ การจัดหมู่

[แก้] การเรียงสับเปลี่ยน

การเรียงสับเปลี่ยน คือ เป็นการเลือกวัตถุโดยสนใจลำดับของการเลือก เช่น การเลือกรหัสเอทีเอ็ม ซึ่งรหัส 5-3-7-5 นั้นถือว่าแตกต่างจากรหัส 3-7-5-5

สมมุติเราสนใจเลข 3 ตัว คือ

1, 2, 3

เราสามารถเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมดได้รูปแบบดังต่อไปนี้

1 2 3

1 3 2

2 1 3

2 3 1

3 1 2

3 2 1

ดูเพิ่มที่บทความ การเรียงสับเปลี่ยน

[แก้] การเลือกซ้ำ

ทั้งการเรียงสับเปลี่ยน และ การจัดหมู่ นั้น ในการเลือกวัตถุออกจากกลุ่มของวัตถุทั้งหมด เราอาจสามารถเลือกซ้ำได้ เช่น ในการเลือกรหัสเอทีเอ็มเลข 4 หลัก โดยแต่ละหลักนั้นเลือกจากเลข 0 ถึง 9 และเราสามารถเลือกเลขตัวเดิมซ้ำได้อีก

[แก้] สรุปสูตรที่สำคัญ

การเรียงสับเปลี่ยน แบบเลือกซ้ำได้

เลือกวัตถุ $\,n\,$ ชิ้น จากทั้งหมด $\,r\,$ ชิ้นที่แตกต่างกัน โดยสนใจลำดับในการเลือก และ สามารถเลือกซ้ำได้
จะมีวิธีการเลือกทั้งหมด $\,P^r(n,r)=n^r\,$

การเรียงสับเปลี่ยน แบบไม่มีการเลือกซ้ำ

เลือกวัตถุ $\,n\,$ ชิ้น จากทั้งหมด $\,r\,$ ชิ้นที่แตกต่างกัน โดยสนใจลำดับในการเลือก และแต่ละชิ้นนั้นสามารถถูกเลือกได้เพียงครั้งเดียว จะมีวิธีการเลือกทั้งหมด $\,P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}\,$

การจัดหมู่ แบบเลือกซ้ำได้

เลือกวัตถุ $\,n\,$ ชิ้น จากทั้งหมด $\,r\,$ ชิ้นที่แตกต่างกัน โดยไม่สนใจลำดับในการเลือก และ สามารถเลือกซ้ำได้
จะมีวิธีการเลือกทั้งหมด $\,C^r(n,r)=\frac{(n+r-1)!}{(n-1)!r!}\,$

การจัดหมู่ แบบไม่มีการเลือกซ้ำ

เลือกวัตถุ $\,n\,$ ชิ้น จากทั้งหมด $\,r\,$ ชิ้นที่แตกต่างกัน โดยไม่สนใจลำดับในการเลือก และแต่ละชิ้นนั้นสามารถถูกเลือกได้เพียงครั้งเดียว จะมีวิธีการเลือกทั้งหมด $\,C(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!r!}\,$