Riemanngeometri
Wikipedia
Riemanngeometri, Riemannsk geometri, är en gren av differentialgeometrin som studerar glatta mångfalder med Riemannmetrik, dvs då mångfaldens tangentrum varierar jämnt från punkt till punkt och ges en metrik i form av en positivt definit kvadratisk form. Detta ger i första hand en uppfattning om vinklar, kurvors längd och volymer i en begränsad omgivning. Globala kvantiteter kan härledas genom integrering av sådana lokala bidrag. Riemanngeometrin har fått sitt namn efter Bernhard Riemann som studerade den på 1800-talet.
Vid sidan av den euklidiska geometrin finns inom den icke-euklidiska geometrin två särskilda fall av Riemmanngeometrier: sfärisk geometri och hyperbolisk geometri. Dessutom finns ett stort antal geometrier med metriska egenskaper som varierar från punkt till punkt. Alla dessa geometrier behandlas likvärdigt.
Alla differentierbara mångfalder har en Riemannmetrik en egenskap som ofta kommer till användning i differentialgeometrin. Den är också grundläggande för de betydligt mer komplicerade pseudo-Riemannska mångfalderna (den metriska tensorn är där inte positivt definit) som i fyra dimensioner utgör de primära studieobjekten i teorier om allmän relativitet.
Att sätta sig in i den Riemannska geometrin är ingen lätt uppgift och att förkovra sig en intuitiv kunskap i ämnet kräver vanligen längre studier som inkluderar metriska tensorer, Riemannmångfalder, Levi-Civita-konnektion, krökning och krökningstensorer.
[redigera] Se även
- Elliptisk geometri
- Lie-algebra
- Liegrupp
- Riccikrökning
- Weylkrökning
