Harmoniska serien

Wikipedia

Den harmoniska serien är inom matematik den oändliga serien

$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots$

Serien är divergent; dess summa är oändlig.

[redigera] Bevis för divergens

Det första beviset för att den harmoniska serien divergerar gavs av Nicolas Oresme (1320-1382). Oresme grupperade termerna som

$1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right] + \left[\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}\right] + \left[\frac{1}{9}+\cdots\right.$

och observerade att varje grupp är större än motsvarande grupp i serien

$1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right] + \left[\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right] + \left[\frac{1}{16}+\cdots\right.$

$= 1 +\ \frac{1}{2}\ + \qquad\frac{1}{2} \ \quad+ \ \qquad\quad\frac{1}{2}\qquad\ \quad \ + \ \quad\ \cdots$

som uppenbarligen divergerar.

Den harmoniska serien kan även visas divergera med hjälp av integraltestet. Motsvarande integral är

$\int_1^\infty \frac{1}{x} \;dx = \left[ \ln x \right]_1^\infty = \infty$

där ln betecknar den naturliga logaritmen.

Den harmoniska serien utgör ett exempel på att termer som går mot noll inte är ett tillräckligt villkor för att en serie ska vara konvergent.

[redigera] Delsummor

Den n-te delsumman

$H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$

kallas för ett harmoniskt tal. De harmoniska talen är för n = 1, 2, 3, ... lika med

$1, \; \frac{3}{2}, \; \frac{11}{6}, \; \frac{25}{12}, \; \frac{137}{60}, \; \frac{49}{20}, \; \frac{363}{140}, \; \frac{761}{280}, \; \frac{7129}{2520}, \; \frac{7381}{2520}, \ldots$

Den harmoniska serien divergerar trots att delsummorna växer långsamt: exempelvis krävs 12367 termer innan summan överstiger 10, och cirka 1,509 × 10⁴³ innan den överstiger 100.

Tillväxthastigheten för delsummorna är ungefär densamma som för den naturliga logaritmen. Skillnaden då n går mot oändligheten är ändlig och lika med talet

$\gamma = \lim_{n\to\infty} \left[H_n - \ln n\right] \approx 0,5772156649$

som kallas Eulers konstant.

[redigera] Varianter

Serien divergerar även om endast termer med primtal i nämnaren tas med. Det vill säga, serien

$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{p_k} = \frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \ldots$

där p_k betecknar det k-te primtalet divergerar. Beviset, som är betydligt mer komplicerat än det för den vanliga harmoniska serien, gavs först av Leonhard Euler. Om varje term i den harmoniska serien kvadreras fås däremot den konvergenta serien

$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} = \frac{1}{1} + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{25} + \ldots = \frac{\pi^2}{6}.$

Problemet att bestämma denna summa är känt som Baselproblemet, och även detta löstes av Euler. Om kvadraten ersätts med en godtycklig potens uppkommer Riemanns zeta-funktion. Liknande summor har studerats för andra delmängder av de positiva heltalen än primtalen och heltalspotenser, exempelvis för fibonaccitalen.

Den alternerande harmoniska serien

$\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots$

konvergerar, eftersom varje alternerande serie vars termer går mot noll konvergerar. Summan är ln 2 ≈ 0,6931471806, vilket kan bevisas genom att beräkna Taylorserien för den naturliga logaritmen.

Den här artikeln är hämtad från http://sv.wikipedia.org../../../h/a/r/Harmoniska_serien.html

Kategori: Talföljder

Harmoniska serien

Wikipedia

[redigera] Bevis för divergens

[redigera] Delsummor

[redigera] Varianter

Views

Navigering

Sök

Andra språk