W-функция Ламберта

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

W-функция Ламберта определяется как обратная функция к $f (w) = w e w$ , для комплексных w. Обозначается W(x) или LambertW(x). Для любого комплексного z:

z = W (z) e W (z)

W-функция Ламберта не может быть выражена в элементарных функциях. Она применяется в комбинаторике, например, при подсчёте числа деревьев, а также при решении уравнений.

Содержание

1 История
2 Многозначность
3 Свойства
- 3.1 Значение в некоторых точках
4 Решение уравнений с помощью W-функции
5 Вычисление
6 Ссылки

[править] История

Функция изучалась ещё в работе Леонарда Эйлера в 1779, но не имела самостоятельного значения и названия вплоть до 1980-х. Как самостоятельная функция была введена в системе компьютерной алгебры Maple, где для неё использовалось имя LambertW. Имя Иоганна Генриха Ламберта было выбрано, поскольку Эйлер ссылался в своей работе на труды Ламберта, и поскольку «называть ещё одну функцию именем Эйлера было бы бесполезно»^[1]

[править] Многозначность

График W₀(x) для −1/e ≤ x ≤ 4

Поскольку функция f(w) не является инъективной на интервале (−∞, 0), W(z) является многозначной функцией на [-1/e,0). Если ограничиться вещественными $x\ge-1/e$ и потребовать $w\ge -1$ , будет определена однозначная функция $W 0 (x)$ .

[править] Свойства

С помощью дифференцирования неявной функции можно получить, что при z≠−1/e

${dW\over dz} = {W(z) \over z (1+W(z))}$

Ряд Тейлора в окрестности нуля сходится при $| z | < 1 / e$ :

$W_0(z)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!}\ x^n = x - x^2 + \frac{3}{2}x^3 - \frac{8}{3}x^4 + \frac{125}{24}x^5 - \cdots$

С помощью интегрирования по частям можно найти интеграл от W(z):

$\int W(x)\, dx = x \left( W(x) - 1 + \frac{1}{W(x)} \right) + C$

[править] Значение в некоторых точках

$W\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{i\pi}{2}$

$W\left(-{1\over e}\right) = -1$

$W\left(-\frac{\ln 2}{2}\right)= -\ln 2$

$W(0) = 0\,$

$W(e) = 1\,$

$W(1) = \Omega \approx 0{,}56714329\,$ (постоянная Омега)

[править] Решение уравнений с помощью W-функции

Решения многих трансцендентных уравнений могут быть выражены в форме W-функции.

Пример: $x x = z$

$\ln z=x\ln x=e^{\ln x}\,\ln x$ , следовательно,

x = e W (ln z)

Пример: $2 x = 5 x$

$1 = 5 x\cdot 2^{-x} = 5 x\, e^{-x\ln 2}$

Обозначим $y = - x ln2$ , тогда $y\,e^y={-\ln 2\over 5}$ , отсюда $y=W\left({-\ln 2\over 5}\right)$ и окончательно $x=-{1\over\ln2}W\left({-\ln 2\over 5}\right)$ .

[править] Вычисление

W-функция может быть приблизительно вычислена с помощью рекурретного соотношения^[1]:

$w_{j+1}=w_j-\frac{w_j e^{w_j}-z}{e^{w_j}(w_j+1)-\frac{(w_j+2)(w_je^{w_j}-z)} {2w_j+2}}$

Пример программы на языке Python:

import math

class Error(Exception):
        pass

def lambertW(x, prec=1e-12):
        w = 0
        for i in xrange(100):
                wTimesExpW = w*math.exp(w)
                wPlusOneTimesExpW = (w+1)*math.exp(w)
                if prec>abs((x-wTimesExpW)/wPlusOneTimesExpW):
                        break
                w = w-(wTimesExpW-x)/(
                        wPlusOneTimesExpW-(w+2)*(wTimesExpW-x)/(2*w+2))
        else:
                raise Error, "W(x) не сходится достаточно быстро при x=%f"%x
        return w

Для приближённого вычисления можно использовать формулу^[2]:

$W(x) \approx \left\{ \begin{matrix} 0{,}665\cdot (1+0{,}0195\ln(x+1))\ln(x+1) + 0{,}04 & \ :\ & 0<x\le500 \\ \ln(x-4) - (1-{1\over\ln x}) \ln\ln x & \ :\ & x>500 \\ \end{matrix} \right.$