Уравнение Фоккера — Планка
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Уравнение Фоккера — Планка названо в честь Адриана Фоккера и Макса Планка, также известно как прямое уравнение Колмогорова, описывает временную эволюцию функции плотности вероятности координат и импульса частиц, и может быть обобщено на другие измеримые параметры (размер (в теории коалесценции), масса и т.д).
Впервые уравнение было использовано для статистического описания Броуновского движения частиц в воде.
Броуновское движение описывается уравнениями Ланжевена, которые могут быть решены для разных сил стохастической природы с усреднением по каноническому ансамблю численным методом Монте-Карло или методами молекулярной динамики.
Однако, вместо сложных вычислений можно использовать уравнения Фоккера — Планка и и рассмотреть функцию плотности вероятности 
, для частицы иметь скорость в интервале 
, когда она имеет начальную скорость 
в момент времени 0.
Общая форма уравнения Фоккера — Планка для N переменных:
![\frac{\partial W}{\partial t} = \left[-\sum_{i=1}^{N} \frac{\partial}{\partial x_i} D_i^1(x_1, \ldots, x_N) + \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} \frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j} D_{ij}^2(x_1, \ldots, x_N) \right] W,](../../../math/a/8/e/a8ee28186410750f5afd0b86ec139ca4.png)
где D1 вектор сноса и D2 тензор диффузии, причем диффузия вызвана действием сил стохастической природы.
Содержание |
[править] Связь со стохастическими дифференциальными уравнениями
Уравнение Фоккера — Планка может быть использовано для расчета плотности вероятности в стохастических дифференциальных уравнениях. Рассмотрим следующее Itō стохастическое дифференциальное уравнение
где 
функция состояния системы и 
— стандартное N-мерное Броуновское движение. Если начальное распределение задано как 
, то плотность вероятности 
состояния системы 
дается уравнением Фоккера — Планка со следуюшими выражениями для сноса и диффузии соответственно:
[править] Примеры
Стандартное скалярное уравнение Броуновского движения генерируется следующим стохастическим дифференциальным уравнением
- dXt = dBt.
Здесь скорость сноса равна нулю и коэффициент диффузии равен 1/2, следовательно, соответствующее уравнение Фоккера — Планка выглядит так:
это простейшая форма одномерного уравнения диффузии (теплопереноса).
[править] Внешние ссылки
[править] Источники
- en:Fokker-Planck equation
- Hannes Risken, «The Fokker-Planck Equation: Methods of Solutions and Applications», 2nd edition, Springer Series in Synergetics, Springer, ISBN 354061530X.
- Crispin W. Gardinder, «Handbook of Stochastic Methods», 3rd edition (paperback), Springer, ISBN 3540208828.
