Уравнение Клейна — Гордона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Уравнение Клейна — Гордона (Уравнение Клейна — Гордона — Фока) является релятивистской версией уравнения Шрёдингера.

Уравнение Шрёдингера для свободной частицы

$\frac{\mathbf{p}^2}{2m} \psi = i \frac{\partial}{\partial t}\psi$

где $\mathbf{p} = -i\mathbf{\nabla}$ — оператор импульса. (Использованы естественные единицы где $\hbar=c=1$ ).

Уравнение Шрёдингера не является релятивистски ковариантным, то есть не согласуется со специальной теорией относительности (СТО).

Используем тождество из СТО для энергии

$E = \sqrt{\mathbf{p}^2 + m^2}$

Тогда просто подставляя квантовомеханический оператор импульса получаем

$\sqrt{(-i\mathbf{\nabla})^2 + m^2} \psi= i \frac{\partial}{\partial t}\psi$

Это однако некрасивое выражение из-за квадратного корня. В дополнение ко всему оно нелокально.

Клейн и Гордон вместо этого уравнения работали с его квадратом (уравнение Клейна — Гордона для свободной частицы), который в ковариантной форме запишется в виде

$(\partial^2 + m^2) \psi = 0.$

где ∂² — оператор Даламбера.

Уравнение Клейна-Гордрна первоначально записал Эрвин Шрёдингер до записи нерелятивистского уравнения, которое носит сейчас его имя. Он отказался от него, потому что не смог включить спин электрона в уравнение. Шрёдингер сделал упрощение уравнения Клейна-Гордона и нашёл «своё» уравнение.

В 1926 году, вскоре после побликации уравнения Шрёдингера Фок написал статью о его обобщении на случай магнитных полей, где силы зависели от скорости и независимо вывел это уравнение. И Клейн и Фок использовали метод Калузы — Клейна. Фок также ввёл калибровачную теорию для волнового уравнения. уравнение Клейна-Гордона для свободной частицы имеет простое решение в виде плоских волн.

[править] Решение уравнения Клейна — Гордона для свободной частицы

Уравнения Клейна — Гордона для свободной частицы записывается в виде

$\mathbf{\nabla}^2\psi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\psi = \frac{m^2c^2}{\hbar^2}\psi$

имеет такое же решение, как и для нерелятивистского случая:

$\psi(\mathbf{r}, t) = e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}$

с условием

$-k^2+\frac{\omega^2}{c^2}=\frac{m^2c^2}{\hbar^2}$

Как и для нерелятивистской частицы запишем энергию и импульс:

$\langle\mathbf{p}\rangle=\langle \psi |-i\hbar\mathbf{\nabla}|\psi\rangle = \hbar\mathbf{k}$

$\langle E\rangle=\langle \psi |i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi\rangle = \hbar\omega$

Теперь для когда мы решим уравнение для k и ω и подставим в уравнения условия, мы восстановим уравнения для связи между энергией и импульсом для релятивистской частицы с ненулевой массой:

$\left.\right. \langle E \rangle^2=m^2c^4+\langle \mathbf{p} \rangle^2c^2$