Тригонометрические формулы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

1 Формулы сложения аргументов
- 1.1 Вывод формул
- 1.2 Вывод формул
2 Формулы двойного угла
3 Формулы понижения степени
4 Формулы преобразования произведений функций
- 4.1 Вывод формул преобразования произведений функций
5 Формулы преобразования суммы функций
- 5.1 Вывод формул преобразования суммы функций

[править] Формулы сложения аргументов

Формулы сложения аргументов
$\sin \left( \alpha \pm \beta \right) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \,\!$	(5)
$\cos \left( \alpha \pm \beta \right) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \,\!$	(6)
$\mathop{\mathrm{tg}}\, \left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{ \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha \pm \mathop{\mathrm{tg}}\, \beta}{1 \mp \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha \mathop{\mathrm{tg}}\,\beta} \,\!$	(7)

Формула (7) получается при делении (5) на (6).

[править] Вывод формул $\sin ( \alpha - \beta) ,\ \cos ( \alpha - \beta)$

На Рис. 3 изображены четыре прямоугольных треугольника: ABC, ABE, ADE и CDE.

Рис. 3. К выводу формул разности углов

Принято, что AE = 1, $\angle BAC = \angle DEC = \alpha, \angle EAC = \beta, \angle BAE = \alpha - \beta$ .

Так как AE = 1, то

$(AB) = \cos ( \alpha - \beta) \,\!$

$(BE) = \sin ( \alpha - \beta) \,\!$

$(DE) = \sin \beta \,\!$

$(AD) = \cos \beta \,\!$ .

Из треугольника A1B1C1 следует:

$\sin \alpha = \frac{(CE) + \sin ( \alpha - \beta)}{ \cos \beta + (DC)} \qquad \qquad (8) \,\!$

$\cos \alpha = \frac{ \cos ( \alpha - \beta)}{ \cos \beta + (DC)} \qquad \qquad \qquad(9) \,\!$

Из треугольника CDE следует:

$\sin \alpha = \frac{DC}{CE} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (10)$

$\cos \alpha = \frac{ \sin \beta}{CE} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad(11)$ .

Из (11) следует:

$CE = \frac{ \sin \beta}{ \cos \alpha} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad(12)$ .

Из (10) и (12) следует:

$DC = {CE} \sin \alpha = \sin \alpha \frac{ \sin \beta}{ \cos \alpha} \qquad \qquad (13)$ .

Из (9) следует:

$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha( \cos \beta + {DC}) = \cos \alpha( \cos \beta + \sin \alpha \frac{ \sin \beta}{ \cos \alpha})$ .

Раскрываем скобки и получаем:

$\cos( \alpha - \beta) = \cos( \alpha) \cos( \beta) + \sin( \alpha) \sin( \beta) \,\!$

Из (8) следует:

$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta + {DC} \sin \alpha - (CE) = \,\!$

$= \sin \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \alpha \frac{ \sin \beta}{ \cos \alpha} - \frac{ \sin \beta}{ \cos \alpha} =\,\!$

$= \frac { \sin \alpha \cos \alpha \cos \beta + \sin \beta( \sin^2 \alpha - 1)}{ \cos \alpha} =$

$= \frac { \sin \alpha \cos \alpha \cos \beta - \sin \beta \cos^2 \alpha}{ \cos \alpha}$ .

Сокращаем получаем:

$\sin( \alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \,\!$

[править] Вывод формул $\sin ( \alpha + \beta) ,\ \cos ( \alpha + \beta)$

На Рис. 4 изображены четыре прямоугольных треугольника: ABC, ABE, ADE и CDE.

Рис. 4. К выводу формул суммы углов

Принято, что AE = 1, $\angle BAE = \alpha, \angle EAC = \beta, \angle BAC = \angle DEC = \alpha + \beta$ .

Так как AE = 1, то

$(BE) = \sin \alpha \,\!$

$(AB) = \cos \alpha \,\!$

$(DE) = \sin \beta \,\!$

$(AD) = \cos \beta \,\!$ .

Из треугольника ABC следует:

$\sin ( \alpha + \beta) = \frac{ \sin \alpha + (CE)}{ \cos \beta + (CD)} \qquad \qquad (14) \,\!$

$\cos ( \alpha + \beta) = \frac{ \cos \alpha}{ \cos \beta + (CD)} \qquad \qquad (15) \,\!$

Из треугольника CDE следует:

$\sin ( \alpha + \beta) = \frac{CD}{CE} \qquad \qquad \qquad \qquad (16)$

$\cos ( \alpha + \beta) = \frac{ \sin \beta}{CE} \qquad \qquad \qquad \qquad (17)$ .

Приравниваем правые части уравнений (14) и (16):

$\frac{ (CD)}{(CE)} = \frac{ \sin \alpha + (CE)}{ \cos \beta + (CD)}$

$(CD) \cos \beta + (CD)^2 = (CE) \sin \alpha + (CE)^2 \qquad (18)$

Приравниваем правые части уравнений (15) и (17) и решаем, полученное уравнение относительно CE:

$\frac{ \sin \beta}{(CE)} = \frac{ \cos \alpha}{ \cos \beta + (CD)}$

$(CE) = \frac { \sin \beta ( \cos \beta + (CD))}{ \cos \alpha} \qquad \qquad \qquad (19)$ .

Подставляем (CE) из (19) в (18):

$(CD) = \sin \beta \frac{ \sin( \alpha) \cos( \alpha) + \sin( \beta) \cos( \beta)}{ \cos^2( \alpha) - \sin^2( \beta)} \qquad (20)$ .

Полученное значение для CD подставляем в (15):

$\cos( \alpha + \beta) = \frac { \cos \alpha}{ \cos \beta + \sin \beta \frac{ \sin( \alpha) \cos( \alpha) + \sin( \beta) \cos( \beta)}{ \cos^2( \alpha) - \sin^2( \beta) }} =$

$= \frac { \cos^2( \alpha) - \sin^2( \beta)}{ \cos( \alpha) \cos( \beta) + \sin( \alpha) \cos( \beta)} =$

$= \frac { \cos^2( \alpha) - \sin^2( \beta) + \cos^2( \alpha) \cos^2( \beta) - \cos^2( \alpha) \cos^2( \beta) + \sin^2( \alpha) \sin^2( \beta) - \sin^2( \alpha) \sin^2( \beta) }{ \cos( \alpha) \cos( \beta) + \sin( \alpha) \cos( \beta)} =$

$= \frac { \cos^2( \alpha) (1 - \cos^2( \beta)) - \sin^2( \beta) (1 - \sin^2( \alpha)) + \cos^2( \alpha) \cos^2( \beta) - \sin^2( \alpha) \sin^2( \beta) }{ \cos( \alpha) \cos( \beta) + \sin( \alpha) \cos( \beta)} =$

$= \frac { \cos^2( \alpha) \sin^2( \beta) - \cos^2( \alpha) \sin^2( \beta) + \cos^2( \alpha) \cos^2( \beta) - \sin^2( \alpha) \sin^2( \beta) }{ \cos( \alpha) \cos( \beta) + \sin( \alpha) \cos( \beta)} =$

$= \frac {( \cos( \alpha) \cos( \beta) - \sin( \alpha) \sin( \beta))( \cos( \beta) \cos( \alpha) + \sin( \alpha) \cos( \beta))}{ \cos( \alpha) \cos( \beta) + \sin( \alpha) \cos( \beta)}$ .

Итак:

$\cos( \alpha + \beta) = \cos( \alpha) \cos( \beta) - \sin( \alpha) \sin( \beta)\,\!$ .

Из формулы (15) следует:

$(CD) = \cos( \alpha) - \cos( \beta) \cos(( \alpha) + (\beta)) \qquad \qquad (21)$

Из формулы (16) и (17) следует:

$(CD) = \sin( \beta) \frac{\sin( \alpha + \beta)}{ \cos( \alpha + \beta) }\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (22)$

Приравниваем правые части (21) и (22) и находим $\sin( \alpha + \beta)\,\!$ :

$\sin( \alpha + \beta) = \frac{ \cos ( \alpha) - \cos( \beta) \cos( \alpha + \beta)}{ \sin( \beta)}\qquad \qquad \qquad$

Прдставляем значение $\cos( \alpha + \beta)\,\!$ :

$\sin( \alpha + \beta) = \frac{ \cos ( \alpha) - \cos( \beta)( \cos( \alpha) \cos( \beta) - \sin( \alpha) \sin( \beta))}{ \sin( \beta)} =$

$= \frac{ \cos ( \alpha) - \cos( \alpha) \cos^2( \beta) + \sin( \alpha) \sin( \beta) \cos( \beta)}{ \sin( \beta)} =$

$= \frac{ \cos ( \alpha)(1 - \cos^2( \beta) + \sin( \alpha) \sin( \beta) \cos( \beta)}{ \sin( \beta)} =$

$= \frac{ \cos ( \alpha) \sin^2( \beta) + \sin( \alpha) \sin( \beta) \cos( \beta)}{ \sin( \beta)}$

Итак:

$\sin( \alpha + \beta) = \sin( \alpha) \cos( \beta) + \cos( \alpha) \sin( \beta) \,\!$ .

[править] Формулы двойного угла

Формулы двойного угла выводятся из формул (5), (6) и (7), если принять, что угол β равен углу α:

Формулы двойного угла
$\sin \,2 \alpha = 2 \sin (\alpha) \cos ( \alpha) \,\!$	(23)
$\cos \,2 \alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \,\!$	(24)
$\mathop{\mathrm{tg}}\, 2 \alpha = \frac{2 \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha}{1 - \mathop{\mathrm{tg}}^2 \alpha} \,\!$	(25)

[править] Формулы понижения степени

Формулы понижения степени выводятся из формулы (24), заменой $cos 2 α = 1 - sin 2 α$ и $sin 2 α = 1 - cos 2 α$ :

Формулы понижения степени
$\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2 \alpha}{2} \,\!$	(26)
$\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2 \alpha}{2} \,\!$	(27)

[править] Формулы преобразования произведений функций

Формул преобразования произведений функций
$\sin \, \alpha \, \sin \, \beta = \frac{ \cos ( \alpha - \beta) - \cos ( \alpha + \beta)}{2} \,\!$	(28)
$\sin \, \alpha \, \cos \, \beta = \frac{ \sin ( \alpha + \beta) + \sin ( \alpha - \beta)}{2} \,\!$	(29)
$\cos \, \alpha \, \cos \, \beta = \frac{ \cos ( \alpha + \beta) + \cos ( \alpha - \beta)}{2} \,\!$	(30)
$\cos \, \alpha \, \sin \, \beta = \frac{ \sin ( \alpha + \beta) - \sin ( \alpha - \beta)}{2} \,\!$	(31)

[править] Вывод формул преобразования произведений функций

Формулы сложения функций выводятся из формул сложения аргументов (5), (6) и (7). Например, из формулы (5) следует:

$\sin ( \alpha + \beta) + \sin ( \alpha - \beta) = \sin \, \alpha \, \cos \, \beta + \cos \, \alpha \, \sin \, \beta + \sin \, \alpha \, \cos \, \beta - \cos \, \alpha \, \sin \, \beta =\,\!$

$= 2 \sin \, \alpha \cos \, \beta\,\!$ .

То есть:

$\sin \, \alpha \cos \, \beta = \frac{\sin ( \alpha + \beta) + \sin ( \alpha - \beta)}{2} \,\!$ — формула (29).

Остальные формулы преобразования произведений функций выводятся аналогично.

[править] Формулы преобразования суммы функций

Формулы преобразования суммы функций
$\sin \, \alpha \pm \sin \, \beta = 2 \sin \frac{ \alpha \pm \beta}{2} \cos \frac{ \alpha \mp \beta}{2}\,\!$	(32)
$\cos \, \alpha + \cos \, \beta = 2 \cos \frac{ \alpha + \beta}{2} \cos \frac{ \alpha - \beta}{2}\,\!$	(33)
$\cos \, \alpha - \cos \, \beta = - 2 \sin \frac{ \alpha + \beta}{2} \sin \frac{ \alpha - \beta}{2}\,\!$	(34)
$\mathop{\mathrm{tg}} \, \alpha \pm \mathop{\mathrm{tg}} \, \beta = \frac{ \sin ( \alpha \pm \beta)}{ \cos \, \alpha \cos \, \beta}\,\!$	(35)
$\mathop{\mathrm{ctg}} \, \alpha \pm \mathop{\mathrm{ctg}} \, \beta = \frac{ \pm \sin ( \alpha \pm \beta)}{ \sin \, \alpha \sin \, \beta}\,\!$	(36)

[править] Вывод формул преобразования суммы функций

Формулы преобразования суммы функций выводятся из формул преобразования произведений функций (28), (29), (30) и (31) с помощью подстановки:

$\alpha = \frac{ \alpha + \beta}{2}\,\!$

$\beta = \frac{ \alpha - \beta}{2}\,\!$ .

Подставим эти выражения в формулу (28):

$\sin ( \frac{ \alpha + \beta}{2}) \sin ( \frac{ \alpha - \beta}{2}) = \frac{ \cos \, \beta - \cos \, \alpha}{2} \,\!$ , то есть

$\cos \, \alpha - \cos \, \beta = - 2 \sin ( \frac{ \alpha + \beta}{2}) \sin ( \frac{ \alpha - \beta}{2}) \,\!$ — формула (35).

Остальные формулы преобразования суммы синуса и косинуса выводятся аналогично.

Из формулы (7) следует:

$\mathop{\mathrm{tg}} \, \alpha + \mathop{\mathrm{tg}} \, \beta = \mathop{\mathrm{tg}}( \alpha + \beta)(1 - \mathop{\mathrm{tg}} \,( \alpha) \mathop{\mathrm{tg}}\,( \beta)) = \,\!$

$= \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}\cdot \frac{\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta}{\cos\alpha \cos\beta}\,\!$

$= \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}\cdot\frac{\cos(\alpha+\beta)} {\cos\alpha \cos\beta} \,\!$ , то есть

$\mathop{\mathrm{tg}} \, \alpha \pm \mathop{\mathrm{tg}} \, \beta = \frac{ \sin ( \alpha \pm \beta)}{ \cos \, \alpha \cos \, \beta} \qquad \qquad \,\!$ — формула (36).