Тензорный анализ

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Тензорный анализ — обобщение векторного анализа, раздел тензорного исчисления, изучающий дифференциальные операторы, действующие на алгебре тензорных полей $D (M)$ дифференцируемого многообразия $M$ . Рассматриваются также операторы, действующие на более общие, чем тензорные поля, геометрические объекты: тензорные плотности, дифференциальные формы со значениями в векторном расслоении и т.д.

Наибольший интерес представляют операторы, действие которых не выводит за пределы алгебры $D (M)$ .

1) Ковариантная производная вдоль векторного поля $X$ — линейное отображение $\nabla_X$ пространства векторных полей $D 1 (M)$ многообразия $M$ , зависящее от векторного поля $X$ и удовлетворяющее условиям:

$\nabla_fX+{}_{gV}Z=f\nabla_XZ,$

$\nabla_X(fZ)=f\nabla_XZ+(Xf)Y,$

где $X$ , $Y$ , $Z\in D'(M)$ , $f$ , $g$ — гладкие функции на $M$ . Определяемые этим оператором связность $Γ$ и параллельное перенесение позволяют распространить действие ковариантной производной до линейного отображения алгебры $D (M)$ в себя; при этом отображение $\nabla X$ есть дифференцирование, сохраняет тип тензорного поля и перестановочно со сверткой.

В локальных координатах $u^1, u^2, \ldots, u^n$ ковариантная производная тензора с компонентами $T(T^{i_1\ldots{i_l}}_{j_1\ldots{j_m}})$ относительно вектора $X=\xi^i\frac{\partial}{\partial u^i}$ определяется так:

$\nabla_XT=\xi^s(\frac{\partial T^{i_1\ldots i_l}_{j_1\ldots m}}{\partial u^s}+\Gamma^{i_1}_{k_s}T^{k\ldots i_l}_{j_1 \ldots j_m}+\ldots-\Gamma^k_{j_{i,s}}T^{i_1\ldots i_l}_{k\ldots j_m}),$

$\Gamma^i_{ks}$ — объект связности $Γ$ .

2) Ли производная вдоль векторного поля $X$ — оторажение $L X$ пространства $D'(M)$ , определяемое формулой $L_X~:~Y\rightarrow [X,~Y]$ , где $[X,~Y]$ — коммутатор векторных полей $X$ , $Y$ . Этот оператор также однозначно продолжается до дифференцирования $D (M)$ , сохраняет тип тензоров и перестановочен со сверткой. В локальных координатах производная Ли тензора $T(T^{i_1\ldots{i_l}}_{j_1\ldots{j_m}})$ выражается так:

$L_X T=\xi^k\frac{\partial T^{i_1\ldots i_l}_{j_1\ldots j_m}}{\partial u^k}+T^{i_1\ldots i_l}_{k\ldots j_m}\frac{\partial\xi^k}{\partial u^i}+\ldots-T^{k\ldots i_l}_{j_1\ldots j_m}\frac{\partial\xi^{i_1}}{\partial u^k}-\ldots.$

3) Внешний дифференциал (внешняя производная) — линейный оператор $d$ , сопоставляющий внешней дифференциальной форме (кососимметричному ковариантному тензору) степени $p$ форму такого же вида и степени $p + 1$ , удовлетворяющий условиям:

$d(\omega_1\wedge\omega_2)=d\omega_1\wedge\omega_2+(-1)^r\omega_1\wedge d\omega_2,~~~~d(d\omega)=0,$

где $\wedge$ — символ внешнего произведения, $r$ — степень $ω 1$ . В локальных координатах внешняя производная тензора $\omega\langle\omega_{i_1\ldots i_p}\rangle$ выражается так:

$d\omega=\sum_{n=0}^\infty (-1)^k\frac{\partial\omega_{i_1\ldots \hat i_k\ldots i_{p+1}}}{\partial u^{i_k}}.$

Оператор $d$ — обобщение оператора $\operatorname{rot}$ .

4) Кривизны тензор симметричного невырожденного дважды ковариантного тензора $g i f$ представляет собой действие некоторого нелинейного оператора $R$ :

$g_{if}\rightarrow R^s_{mlk}=\frac{\partial\Gamma^s_{km}}{\partial u^l}-\frac{\partial\Gamma^s_{kl}}{\partial u^m}+\sum_p(\Gamma^s_{lp}\Gamma^p_{km}-\Gamma^s_{mp}\Gamma^p_{kl}),$

где