Сходимость в Lp

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Сходи́мость в Lp в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах - вид сходимости измеримых функций или случайных величин.

[править] Определение

Пусть $(X,\mathcal{F},\mu)$ - пространство с мерой. Тогда пространство $L^p\equiv L^p(X,\mathcal{F},\mu)$ измеримых функций, таких что их $p$ -я степень, где $p \ge 1$ , интегрируема по Лебегу, является метрическим. Метрика в этом пространстве имеет вид:

$d(f,g) = \|f - g\|_p \equiv \left(\, \int\limits_X |f(x)-g(x)|^p\, \mu(dx)\, \right)^{1/p}$ .

Пусть дана последовательность $\{f_n\}_{n=1}^{\infty} \subset L^p$ . Тогда говорят, что эта последовательность сходится в $L p$ к функции $f \in L^p$ , если она сходится в метрике, определённой выше, то есть

$\lim\limits_{n \to \infty} \|f_n - f\|_p = 0$ .

Пишут: $f_n \to^{\!\!\!\!\!\!\! L^p} f$ .

В терминах теории вероятностей, последовательность случайных величин $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}\subset L^p(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ сходится к $X$ из того же пространства, если

$\lim\limits_{n\to \infty}\mathbb{E}|X_n-X|^p = 0$ .

Пишут: $X_n \to^{\!\!\!\!\!\!\! L^p} X$ .

[править] Терминология

Сходимость в пространстве $L 1$ называется сходимостью в среднем.
Cходимость в пространстве $L 2$ называется сходимость в среднеквадратичном.

[править] Свойства сходимости в Lp

Единственность предела. Если $f_n \to^{\!\!\!\!\!\!\! L^p} f$ и $f_n \to^{\!\!\!\!\!\!\! L^p} g$ , то $f = g$ $μ$ -почти всюду ( $\mathbb{P}$ -почти наверное).

Пространство $L p$ полно. Если $\|f_n-f_m\|_p \to 0$ при $\min(n,m) \to \infty$ , то существует $f \in L^p$ , такой что $f_n \to^{\!\!\!\!\!\!\! L^p} f$ .