Смешанное произведение

Сме́шанное произведе́ние $( \bar{a}, \bar{b}, \bar{c} )$ векторов $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ — скалярное произведение вектора $\bar{a}$ на векторное произведение векторов $\bar{b}$ и $\bar{c}$ :

$(\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}) = \langle\bar{a}, [\bar{b}, \bar{c}]\rangle$ .

Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов.

[править] Свойства

$(\bar a,\bar b,\bar c)=(\bar b,\bar c,\bar a)=(\bar c,\bar a,\bar b)=-(\bar b,\bar a,\bar c)=-(\bar c,\bar b,\bar a)=-(\bar a,\bar c,\bar b);$

т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения.

Смешанное произведение $( \bar{a}, \bar{b}, \bar{c} )$ в правой декартовой системе координат равно определителю матрицы, составленной из векторов $\bar{a}, \bar{b}$ и $\bar{c}$ :

$( \bar{a}, \bar{b}, \bar{c} ) = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}.$

В частности,

Если три вектора линейно зависимы (т. е. лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.
Смешанное произведение $( \bar{a}, \bar{b}, \bar{c} )$ по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда, образованного векторами $\bar{a}, \bar{b}$ и $\bar{c};$ знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.