Произведение мер

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Произведе́ние ме́р в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах - формальный способ построить меру на декартовом произведении двух пространств с мерами.

Содержание

1 Построение
2 Замечания
3 Пример
4 См. также

[править] Построение

Пусть $(X_i,\mathcal{F}_i,\mu_i),\; i=1,2$ - два пространства с мерами. Тогда $X_1 \times X_2$ - декартово произведение множеств $X 1$ и $X 2$ .

$\mathcal{F}_1 \times \mathcal{F}_2$ является семейством подмножеств $X_1 \times X_2$ . Оно, вообще говоря, не замкнуто относительно счётных объединений, и следовательно не является σ-алгеброй. Введём обозначение

$\mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2 = \sigma \left(\mathcal{F}_1 \times \mathcal{F}_2\right)$

- минимальная σ-алгебра, содержащая $\mathcal{F}_1 \times \mathcal{F}_2$ . Тогда $(X_1 \times X_2, \mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2)$ - измеримое пространство. Определим на нём меру $\mu_1 \otimes \mu_2 : \mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2 \to \mathbb{R}$ следующим образом:

$\mu_1 \otimes \mu_2 (A) = \mu_1(A_1) \cdot \mu_2(A_2),\quad \forall A = A_1 \times A_2 \in \mathcal{F}_1 \times \mathcal{F}_2$ .

Тогда $\mu_1 \otimes \mu_2$ продолжается единственным образом с $\mathcal{F}_1 \times \mathcal{F}_2$ на $\mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2$ :

$\mu_1 \otimes \mu_2(A) = \int\limits_{X_2} \mu_1(A_{x_2})\, \mu_2(dx_2),\quad A \in \mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2$

или

$\mu_1 \otimes \mu_2(A) = \int\limits_{X_1} \mu_2(A_{x_1})\, \mu_1(dx_1)$ ,

где

$A_{x_2} = \{x_1 \in X_1 \mid (x_1,x_2) \in A )\}$ - сечение

A

вдоль $x_2 \in X_2$ , а

$A_{x_1} = \{x_2 \in X_2 \mid (x_1,x_2) \in A )\}$ - сечение

A

вдоль $x_1 \in X_1$ .

Получившаяся мера $\mu_1 \otimes \mu_2$ называется произведением мер $μ 1$ и $μ 2$ . Пространство с мерой $(X_1 \times X_2, \mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2, \mu_1 \otimes \mu_2)$ называется (прямым) произведением исходных пространств.

[править] Замечания

Если $(\Omega_i,\mathcal{F}_i,\mathbb{P}_i),\; i=1,2$ - два вероятностных пространства, то $(\Omega_1 \times \Omega_2, \mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2, \mathbb{P}_1 \otimes \mathbb{P}_2)$ называется их произведением.
Если $X,Y:\Omega \to \mathbb{R}$ - случайные величины, то $\mathbb{P}^X,\mathbb{P}^Y$ - распределения на $\mathbb{R}$ $X$ и $Y$ соответственно, а $\mathbb{P}^{X,Y}$ - распределение на $\mathbb{R}^2$ случайного вектора $(X,Y)^{\top}$ . Если $X, Y$ - независимы, то